AMC 8 · 2019 · #10

학년 6 arithmetic

mean-median-mode-rangegraph-reading identify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangegraph-reading

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림은 지난주 평일에 축구 연습에 참가한 학생들의 수를 나타냅니다. 코치가 평균과 중앙값을 계산한 뒤, 수요일에 실제로 참가한 학생이 $21$ 명이었다는 사실을 알게 되었습니다. 이 값을 바르게 고친 뒤 평균과 중앙값의 변화를 바르게 설명한 것은 다음 중 어느 것입니까?

$\textbf{(A) }$ The mean increases by $1$ and the median does not change.

$\textbf{(B) }$ The mean increases by $1$ and the median increases by $1$ .

$\textbf{(C) }$ The mean increases by $1$ and the median increases by $5$ .

$\textbf{(D) }$ The mean increases by $5$ and the median increases by $1$ .

$\textbf{(E) }$ The mean increases by $5$ and the median increases by $5$ .

답을 골라 클릭하세요.

(A)

The mean increases by 1 and the median does not change.

(B)

The mean increases by 1 and the median increases by 1.

(C)

The mean increases by 1 and the median increases by 5.

(D)

The mean increases by 5 and the median increases by 1.

(E)

The mean increases by 5 and the median increases by 5.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 막대그래프에 평일 닷새(월~금) 동안 축구 연습에 참여한 학생 수가 월 $20$, 화 $26$, 수 $16$, 목 $22$, 금 $16$ 으로 나와 있습니다. 코치가 이 다섯 값으로 평균과 중앙값을 구한 뒤, 수요일의 실제 인원은 $16$ 이 아니라 $21$ 이었음을 알게 됩니다. 수요일 값 하나만 바로잡았을 때 평균과 중앙값이 각각 얼마나 어떻게 바뀌는지를 가장 잘 설명한 보기를 고르는 문제입니다.

주어진 것: 원래 다섯 값(월~금): $20, 26, 16, 22, 16$; 수요일의 수정된 값: $21$ (기존 $16$ 을 대체); 나머지 네 요일의 값은 그대로; 보기들은 평균 변화량과 중앙값 변화량의 짝(각각 $0$, $1$, 또는 $5$)을 제시

구하는 것: 수정 후 평균이 얼마만큼, 어느 방향으로 바뀌는지; 수정 후 중앙값이 얼마만큼, 어느 방향으로 바뀌는지

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기

이 문제는 "평균은 어떻게 바뀌나?" 와 "중앙값은 어떻게 바뀌나?" 라는 서로 독립적인 두 작은 질문을 한꺼번에 묻습니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 두 변화량을 따로따로 구합니다. 평균은 지름길을 씁니다 — 한 값이 $21 - 16 = 5$ 만큼 늘었으니 합도 $5$ 만큼 늘고, 자료가 $5$ 개이므로 평균은 $5 \div 5 = 1$ 만큼 증가합니다. 중앙값은 도구 #15(다르게 정리하기) 로 같은 자료를 오름차순으로 다시 줄 세우기만 하면 $3$ 번째 값이 보이도록 — 수정 전·후 두 번 — 정리합니다. 두 변화량이 모두 $+1$ 임이 드러나면 도구 #3(가능성 지우기) 으로 (B) 만 남기는 깔끔한 객관식 마무리가 가능합니다.

실행 — 정답: B

#15 다르게 정리하기 3.MD.B.3 단계 1

막대그래프에서 다섯 값을 그대로 읽습니다 — 월 $20$, 화 $26$, 수 $16$, 목 $22$, 금 $16$.
이것이 원래 자료집합입니다.

$$\{20,\ 26,\ 16,\ 22,\ 16\}$$

💡 축이 표시된 막대그래프에서 값을 읽어내는 것은 3학년 "막대그래프 그리고 해석하기" 그대로입니다.

#15 다르게 정리하기 6.SP.B.5 단계 2

작은 문제 1a — 원래 중앙값 구하기.
다섯 값을 작은 수부터 큰 수 순으로 다시 줄 세우면, $5$ 개 자료의 중앙값은 정렬 후 $3$ 번째 값입니다.

정렬: $\{16,\ 16,\ \boxed{20},\ 22,\ 26\}\;\Rightarrow\; \text{중앙값}_{\text{원래}} = 20$

💡 자료를 정렬해 가운데 값을 짚는 것은 6학년 "중심 측도" 단원에서 정의하는 중앙값 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 3

작은 문제 1b — 원래 평균 구하기.
다섯 값을 모두 더한 뒤 $5$ 로 나눕니다.

$$\dfrac{20+26+16+22+16}{5} = \dfrac{100}{5} = 20\;\Rightarrow\; \text{평균}_{\text{원래}} = 20$$

💡 값들의 합을 개수로 나누는 것은 6학년에서 정의하는 평균(mean) 그대로입니다.

#15 다르게 정리하기 6.SP.B.5 단계 4

작은 문제 2 — 수요일의 $16$ 을 $21$ 로 바꾸고 다시 정렬합니다.
새로 정렬한 목록에서 $3$ 번째 값이 $21$ 이므로 새 중앙값은 $21$ 이고, 중앙값은 $21 - 20 = 1$ 만큼 증가했습니다.

새 정렬: $\{16,\ 20,\ \boxed{21},\ 22,\ 26\}\;\Rightarrow\; \text{중앙값}_{\text{새}} = 21,\ \Delta\text{중앙값} = +1$

💡 수정된 자료를 크기순으로 다시 정리하면 처음과 똑같은 방식으로 가운데 값을 읽을 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 5

합 전체를 다시 구하지 않고 평균 변화량 지름길을 씁니다.
수요일 값이 $21 - 16 = 5$ 만큼 늘었으므로 합도 $5$ 만큼 늘고, 자료가 $n = 5$ 개이므로 평균은 $5 \div 5 = 1$ 만큼 늘어납니다.
(검증: 새 합 $= 105$, 새 평균 $= 105 / 5 = 21$ 로 일치.)

$$\Delta\text{평균} = \dfrac{\Delta\text{합}}{n} = \dfrac{+5}{5} = +1$$

💡 평균은 합 $\div\,n$ 이라서 값 하나가 $\Delta$ 만큼 변하면 평균은 정확히 $\Delta / n$ 만큼 변합니다 — 6학년 중심 측도의 깔끔한 활용입니다.

#3 가능성 지우기 6.SP.B.5 단계 6

두 작은 문제의 결과를 합쳐서 보기와 맞춥니다.
평균 증가 $1$, 중앙값 증가 $1$ — 정확히 (B).
(A), (C), (D), (E) 는 두 변화량 중 적어도 하나가 어긋나므로 모두 제거됩니다.

$$\Delta\text{평균} = +1,\ \Delta\text{중앙값} = +1\;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 두 변화량이 확정되면 나머지 네 보기는 조건 중 적어도 하나에서 어긋나 자연히 (B) 만 남습니다.

[1] #15 3.MD.B.3 막대그래프에서 다섯 값을 그대로 읽습니다 — 월 $20$, 화 $26$, 수 $16$, 목 $22$, 금 $16$. 이것이 원래 자료집합입니다.

[2] #15 6.SP.B.5 작은 문제 1a — 원래 중앙값 구하기. 다섯 값을 작은 수부터 큰 수 순으로 다시 줄 세우면, $5$ 개 자료의 중앙값은 정렬 후 $3$ 번째

[3] #7 6.SP.B.5 작은 문제 1b — 원래 평균 구하기. 다섯 값을 모두 더한 뒤 $5$ 로 나눕니다.

[4] #15 6.SP.B.5 작은 문제 2 — 수요일의 $16$ 을 $21$ 로 바꾸고 다시 정렬합니다. 새로 정렬한 목록에서 $3$ 번째 값이 $21$ 이므로 새 중앙값은

[5] #7 6.SP.B.5 합 전체를 다시 구하지 않고 평균 변화량 지름길을 씁니다. 수요일 값이 $21 - 16 = 5$ 만큼 늘었으므로 합도 $5$ 만큼 늘고, 자료가

[6] #3 6.SP.B.5 두 작은 문제의 결과를 합쳐서 보기와 맞춥니다. 평균 증가 $1$, 중앙값 증가 $1$ — 정확히 (B). (A), (C), (D), (E) 는

검토

합리성 확인: 다섯 값 중 단 하나만 $5$ 만큼 올라갔으니 평균은 정확히 $5 / 5 = 1$ 만큼 올라가야 하고, 실제로 그렇게 나왔습니다. 그 값은 원래 낮은 쪽 끝인 $16$ 에서 옛 중앙값 $20$ 을 넘어 $21$ 로 옮겨갔기 때문에 정렬 순서가 한 칸 밀려 새 중앙값도 $21$ — 역시 $+1$ — 이 됩니다. 두 변화 모두 같은 방향(자료가 살짝 커진 쪽) 으로, 다섯 값 중 한 개만 손본 결과로는 적당한 크기라 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 만으로도 풀 수 있습니다. 평균 변화량은 (한 값의 변화) $/ n = 5 / 5 = 1$ 이라 곧바로 (D), (E)( $\Delta\text{평균} = 5$ 라 주장) 가 탈락합니다. 남은 (A), (B), (C) 중 중앙값 변화가 $+1$ 인 (B) 만이, 수요일 값이 옛 중앙값 아래($16 < 20$) 에서 위($21 > 20$) 로 넘어가면서 한 칸 위로 밀려 올라간 상황과 맞아떨어집니다 — (A) 의 "변화 없음" 과 (C) 의 "$+5$" 는 둘 다 어긋납니다. 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.MD.B.3 축이 표시된 그림그래프와 막대그래프 그리고 해석하기 (문제의 막대그래프에서 다섯 평일 값 $20, 26, 16, 22, 16$ 을 읽어내는 데 사용.)
6.SP.B.5 수치자료를 관찰 개수와 중심·산포 측도로 요약하기 (원래 자료와 수정된 자료의 평균과 중앙값을 구하고 비교하는 데 사용. "합이 $\Delta$ 만큼 변하면 평균은 $\Delta / n$ 만큼 변한다" 는 지름길도 포함.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 평균과 중앙값 — 그리고 "값 하나가 $5$ 만큼 늘면 다섯 자료의 평균은 $1$ 만큼만 늘어난다" 는 작은 지름길 — 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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