AMC 8 · 2019 · #24

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

area-trianglesratio-proportionsimilar-triangles identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-trianglesratio-proportion

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

삼각형 $\triangle ABC$ 에서, 점 $D$ 는 변 $\overline{AC}$ 위의 점으로 $AD:DC=1:2$ 가 되도록 잡습니다. $E$ 를 $\overline{BD}$ 의 중점이라 하고, $F$ 를 직선 $\overline{BC}$ 와 직선 $\overline{AE}$ 의 교점이라 합시다. $\triangle ABC$ 의 넓이가 $360$ 일 때, $\triangle EBF$ 의 넓이는 얼마입니까?

$\textbf{(A) }24\qquad\textbf{(B) }30\qquad\textbf{(C) }32\qquad\textbf{(D) }36\qquad\textbf{(E) }40$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 넓이가 $360$ 인 $\triangle ABC$ 안에서, 점 $D$ 는 $AD:DC = 1:2$ 가 되도록 변 $\overline{AC}$ 위에 놓이고, 점 $E$ 는 $\overline{BD}$ 의 중점입니다. 직선 $\overline{AE}$ 를 연장하면 변 $\overline{BC}$ 와 점 $F$ 에서 만납니다. 이때 작은 삼각형 $\triangle EBF$ 의 넓이를 구하시오.

주어진 것: $\triangle ABC$ 의 넓이 $= 360$; 점 $D$ 가 $\overline{AC}$ 위에 있고 $AD:DC = 1:2$ (즉 $AD = \tfrac{1}{3} AC$); 점 $E$ 가 $\overline{BD}$ 의 중점 (즉 $BE = ED$); 점 $F$ 는 직선 $AE$ 와 변 $\overline{BC}$ 의 교점; 선택지: (A) $24$, (B) $30$, (C) $32$, (D) $36$, (E) $40$

구하는 것: $\triangle EBF$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

다섯 개의 점과 세 개의 선분이 얽혀 있어 도구 #1(그림 그리기) 없이는 머릿속이 금세 엉킵니다. 단순히 그리는 데서 한 발 더 나아가 좌표평면 위에 올려 두면, "점 $F$ 가 어디?" 가 추측이 아니라 계산으로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "$\triangle EBF$ 의 넓이" 라는 큰 질문을 세 개의 "같은 높이를 가진 두 삼각형" 비율 문제 — $\triangle ABD$ 대 $\triangle ABC$, $\triangle ABE$ 대 $\triangle ABD$, $\triangle ABF$ 대 $\triangle ABC$ — 로 잘게 쪼개 줍니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 직선 $AE$ 가 $\overline{BC}$ 와 만나는 점을 찾는 단 한 단계에서만 쓰여 $BF:FC = 1:3$ 을 얻어 냅니다. 마지막은 뺄셈 한 번. 메넬라오스 정리는 한 줄로 같은 비율을 주지만 CCSS K-8 범위 밖이라 의도적으로 피했습니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

비율을 그대로 살릴 수 있도록 그림을 좌표평면 위에 올립니다.
$B = (0, 0),\ C = (3, 0),\ A = (0, 3)$ 으로 두면 $\triangle ABC$ 는 넓이 $\tfrac{1}{2}(3)(3) = \tfrac{9}{2}$ 인 직각삼각형이 됩니다.
좌표에서 구한 넓이는 마지막에 $360 / \tfrac{9}{2} = 80$ 배 해 주면 문제 단위로 환산됩니다.

$$B=(0,0),\ C=(3,0),\ A=(0,3),\ \text{좌표 넓이}(\triangle ABC)=\tfrac{9}{2}$$

💡 다각형을 좌표평면 위에 올리는 것은 6학년 표준이며, "$F$ 의 위치" 를 산수 문제로 바꿔 줍니다.

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 2

내분점·중점 공식으로 $D$ 와 $E$ 를 찍습니다.
$D$ 는 $\overline{AC}$ 를 $AD:DC = 1:2$ 로 내분하므로 $D = A + \tfrac{1}{3}(C - A) = (1, 2)$, $E$ 는 $\overline{BD}$ 의 중점이므로 $E = \tfrac{1}{2}(B + D) = (\tfrac{1}{2}, 1)$.

$$D = A + \tfrac{1}{3}(C - A) = (1, 2),\quad E = \tfrac{1}{2}(B + D) = \left(\tfrac{1}{2}, 1\right)$$

💡 내분점·중점 공식은 좌표평면 위의 사칙연산 — 6학년 범위 안입니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 3

직선 $\overleftrightarrow{AE}$ 와 $x$ 축(즉 직선 $\overleftrightarrow{BC}$)의 교점으로 $F$ 를 구합니다.
$A=(0,3)$ 와 $E=(\tfrac{1}{2},1)$ 을 지나는 직선의 기울기는 $\tfrac{1-3}{1/2-0} = -4$ 이므로 식은 $y = 3 - 4x$.
$y = 0$ 을 대입하면 $x = \tfrac{3}{4}$, 즉 $F = (\tfrac{3}{4}, 0)$ 입니다.

$$y - 3 = -4(x - 0)\;\Rightarrow\; y = 3 - 4x\;\Rightarrow\; 0 = 3 - 4x\;\Rightarrow\; x = \tfrac{3}{4}$$

💡 기울기·절편 형태로 직선의 방정식을 세우고 $y=0$ 에서 푸는 것은 8학년 일차방정식입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 4

핵심 비율을 $x$ 축에서 그대로 읽어 냅니다.
$F = (\tfrac{3}{4}, 0)$, $C = (3, 0)$ 이므로 $BF = \tfrac{3}{4}$, $FC = 3 - \tfrac{3}{4} = \tfrac{9}{4}$.
따라서 $BF : FC = 1 : 3$, $BF = \tfrac{1}{4} BC$ 입니다.

$$\dfrac{BF}{BC} = \dfrac{3/4}{3} = \dfrac{1}{4}$$

💡 같은 수직선 위의 두 길이를 비교하는 단순한 비율 추론으로 6학년 표준입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

"같은 높이" 넓이 규칙을 세 번 연결해 $\triangle ABC$ 의 넓이까지 끌어옵니다.
(i) $\triangle ABD$ 와 $\triangle ABC$ 는 $B$ 에서 내린 높이가 같고 $AD = \tfrac{1}{3}AC$ 이므로 $[\triangle ABD] = \tfrac{1}{3}\cdot 360 = 120$.
(ii) $\triangle ABE$ 와 $\triangle ABD$ 는 $A$ 에서 내린 높이가 같고 $BE = \tfrac{1}{2}BD$ 이므로 $[\triangle ABE] = \tfrac{1}{2}\cdot 120 = 60$.
(iii) $\triangle ABF$ 와 $\triangle ABC$ 는 $A$ 에서 내린 높이가 같고 $BF = \tfrac{1}{4}BC$ 이므로 $[\triangle ABF] = \tfrac{1}{4}\cdot 360 = 90$.

$$[\triangle ABD]=\tfrac{1}{3}\cdot 360=120,\quad [\triangle ABE]=\tfrac{1}{2}\cdot 120=60,\quad [\triangle ABF]=\tfrac{1}{4}\cdot 360=90$$

💡 두 삼각형의 높이가 같으면 넓이의 비는 밑변의 비와 같다 — 6학년 삼각형 넓이 핵심 논리입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 6

$A, E, F$ 가 한 직선 위에 있으므로 $\overline{AF}$ 가 $\triangle ABF$ 를 $\triangle ABE$ 와 $\triangle EBF$ 로 갈라 줍니다.
따라서 $[\triangle EBF] = [\triangle ABF] - [\triangle ABE] = 90 - 60 = 30$.
답은 $\textbf{(B)}\ 30$.

$$[\triangle EBF] = 90 - 60 = 30 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 한 삼각형을 체바 분할로 두 조각으로 나눠 더하거나 빼는 것은 6학년 기하의 기본입니다.

[1] #1 6.G.A.3 비율을 그대로 살릴 수 있도록 그림을 좌표평면 위에 올립니다. $B = (0, 0),\ C = (3, 0),\ A = (0, 3)$ 으로 두면

[2] #1 6.NS.C.8 내분점·중점 공식으로 $D$ 와 $E$ 를 찍습니다. $D$ 는 $\overline{AC}$ 를 $AD:DC = 1:2$ 로 내분하므로 $D =

[3] #13 8.EE.C.7 직선 $\overleftrightarrow{AE}$ 와 $x$ 축(즉 직선 $\overleftrightarrow{BC}$)의 교점으로 $F$ 를

[4] #7 6.RP.A.3 핵심 비율을 $x$ 축에서 그대로 읽어 냅니다. $F = (\tfrac{3}{4}, 0)$, $C = (3, 0)$ 이므로 $BF = \tfra

[5] #7 6.G.A.1 "같은 높이" 넓이 규칙을 세 번 연결해 $\triangle ABC$ 의 넓이까지 끌어옵니다. (i) $\triangle ABD$ 와 $\tri

[6] #7 6.G.A.1 $A, E, F$ 가 한 직선 위에 있으므로 $\overline{AF}$ 가 $\triangle ABF$ 를 $\triangle ABE$ 와 $

검토

합리성 확인: 사슬에 등장하는 비율이 모두 $360$ 의 깔끔한 단위분수 $\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}$ 로 나오고, 마지막은 $90 - 60 = 30$ 으로 (B) 와 정확히 일치합니다. $\triangle EBF$ 는 점 $B$ 근처의 좁은 쐐기라 전체의 $\tfrac{1}{12}$($30/360$) 정도가 자연스럽습니다. 확인용으로 원래 그림의 좌표 ($B=(0,0), C=(3,0), A=(1.2,1.7)$) 에 신발끈 공식을 써 보면 $[\triangle EBF] \approx 0.2125$, $[\triangle ABC] \approx 2.55$ 이고 $0.2125 / 2.55 \times 360 = 30$ 으로 정확히 들어맞습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 선택지를 거꾸로 점검할 수도 있습니다. $1:2$ 비와 중점 조건만으로 $[\triangle ABE] = 60$ 은 강제되므로, $[\triangle EBF] = [\triangle ABF] - 60$ 입니다. 선택지 (24, 30, 32, 36, 40) 중 $[\triangle ABF]/[\triangle ABC]$ 가 깔끔한 단위분수가 되는 값은 $30$ 뿐 — $60 + 30 = 90 = \tfrac{1}{4}\cdot 360$. 다시 (B) 로 귀결됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 삼각형, 특별한 사각형, 다각형의 넓이를 분해·구성으로 구하기 ("같은 높이" 넓이 규칙을 세 번 적용해 $[\triangle ABD]=120,\ [\triangle ABE]=60,\ [\triangle ABF]=90$ 을 얻고, $\triangle ABF$ 를 $\triangle ABE + \triangle EBF$ 로 분해하는 데 사용.)
6.G.A.3 주어진 좌표로 좌표평면 위에 다각형 그리기 ($\triangle ABC$ 를 좌표평면 위에 올려 길이와 교점 계산을 단순한 산수로 바꾸는 데 사용.)
6.NS.C.8 좌표평면 위의 점을 그려 실생활 문제 해결 (내분점·중점 공식으로 $D = (1, 2),\ E = (\tfrac{1}{2}, 1)$ 을 좌표평면 위에서 계산하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($x$ 축 위의 두 길이로부터 $BF:FC = 1:3$, $BF/BC = 1/4$ 을 읽어 내는 데 사용.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀이 (직선 $\overleftrightarrow{AE}$ 의 식 $y = 3 - 4x$ 를 세우고 $0 = 3 - 4x$ 를 풀어 $F = (\tfrac{3}{4}, 0)$ 을 찾는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 일차방정식으로 점 $F$ 위치 하나만 잡으면, 나머지는 6학년 때 배운 "같은 높이 두 삼각형의 넓이비 = 밑변비" 규칙만으로 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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