AMC 8 · 2019 · #25

학년 6 counting

combinations-basicsystematic-enumerationlinear-diophantine identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: combinations-basiclinear-diophantine

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

앨리스는 사과 $24$ 개를 가지고 있습니다. 앨리스가 베키, 크리스와 사과를 나누어 가지되, 세 사람이 모두 적어도 $2$ 개씩 사과를 가지도록 나누는 방법은 모두 몇 가지입니까?

$\textbf{(A) }105\qquad\textbf{(B) }114\qquad\textbf{(C) }190\qquad\textbf{(D) }210\qquad\textbf{(E) }380$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

105

(B)

114

(C)

190

(D)

210

(E)

380

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 앨리스는 사과 $24$개를 자신과 베키, 크리스 세 사람이 모두 나눠 갖되, 누구나 최소 $2$개씩은 받도록 나누고 싶어 합니다. $24$개를 세 사람에게 나누는 서로 다른 방법은 몇 가지일까요?

주어진 것: 나눠야 할 사과는 정확히 $24$개; 사과를 받는 사람은 세 명: 앨리스, 베키, 크리스; 각 사람은 최소 $2$개 이상의 사과를 받아야 함; 사과는 서로 구분되지 않고, 사람은 서로 구분된다 (앨리스 $5$·베키 $7$ 과 앨리스 $7$·베키 $5$ 는 다른 분배); 선택지: (A) $105$, (B) $114$, (C) $190$, (D) $210$, (E) $380$

구하는 것: $a + b + c = 24$ 이고 $a, b, c \ge 2$ 인 정수 순서쌍 $(a, b, c)$ 의 개수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #2 빠짐없이 나열하기, #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기

$24$를 직접 세 묶음으로 쪼개려면 약 $200$가지 경우를 손으로 나열해야 해서 너무 많습니다. 그래서 먼저 도구 #16 의 발상으로 "각자 $2$개 이상" 이라는 조건을 제거합니다 — 세 사람에게 $2$개씩 미리 주고 나면 남은 $18$개는 아무 조건 없이 나눠 가지면 되는, 더 쉬운 문제가 됩니다. 그 다음 도구 #9 로 $18$ 대신 아주 작은 합 ($N = 0, 1, 2, 3, \ldots$) 부터 시작해, 도구 #2 로 모든 순서쌍을 빠짐없이 나열하고, 도구 #5 로 개수가 어떻게 늘어나는지 패턴 ($1, 3, 6, 10, 15, \ldots$ — 삼각수) 을 잡습니다. 이 패턴은 $N = 18$ 까지 그대로 일반화됩니다.

실행 — 정답: C

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 4.OA.A.3 단계 1

조건을 먼저 "선지급" 해서 없애 버립니다.
세 사람에게 사과 $2$개씩을 미리 나눠 주면 $2 + 2 + 2 = 6$ 개가 쓰이고, 남은 $24 - 6 = 18$ 개를 아무 제한 없이 (각 사람은 추가로 $0$개 이상) 나누면 됩니다.

$$24 - 2 \times 3 = 24 - 6 = 18 \text{ 개를 제한 없이 분배}$$

💡 최소량을 먼저 지불해서 "$\ge 2$" 조건을 "$\ge 0$" 조건으로 바꾸는 것은 4학년 다단계 문장제 그대로의 발상입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 2

이제 더 쉬운 부분 문제는 "$a + b + c = 18$, $a, b, c \ge 0$ 인 정수 순서쌍 $(a, b, c)$ 의 개수" 입니다.
그래도 $18$ 은 여전히 크니, 도구 #9 로 합 $N$ 을 $0, 1, 2, 3, 4$ 처럼 아주 작은 값부터 다뤄 봅니다.

작은 경우: $N=0 \to (0,0,0)$; $N=1 \to (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$; $N=2 \to (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$.

💡 $18$ 대신 손으로 다 셀 수 있는 작은 수로 바꿔 보는 것이 도구 #9 의 핵심 — 4학년 "규칙을 따르는 수의 패턴 만들기" 입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 3

각 작은 경우마다 순서쌍을 빠짐없이 나열합니다.
정렬 규칙은 $a$ 를 큰 값부터 작은 값으로, 그 다음 $b$ 순서로 두면 중복도 누락도 없습니다.

$N=0$: $1$ 가지. $N=1$: $3$ 가지. $N=2$: $6$ 가지. $N=3$: $10$ 가지. $N=4$: $15$ 가지.

💡 정렬 규칙을 미리 정하고 따라가는 "빠짐없이 나열" 은 4학년에서도 충분히 다룰 수 있는 안전한 세기 방식입니다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.2 단계 4

개수의 패턴 $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$ 는 삼각수입니다.
합이 $N$ 일 때 가짓수는 $\dfrac{(N+1)(N+2)}{2}$ 인데, $a$ 가 $0$ 부터 $N$ 까지 움직일 수 있고 각 $a$ 에 대해 $b$ 의 선택지가 $(N - a + 1)$ 개 ($c$ 는 자동 결정) 이므로 $1 + 2 + 3 + \cdots + (N+1) = \dfrac{(N+1)(N+2)}{2}$ 가 됩니다.

$$\text{가짓수}(N) = (N+1) + N + (N-1) + \cdots + 1 = \dfrac{(N+1)(N+2)}{2}$$

💡 가짓수를 합 $N$ 에 대한 식 "$(N+1)(N+2)/2$" 로 적는 것은 6학년 "문자로 식 쓰기·읽기·계산하기" 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.4 단계 5

공식이 정말 맞는지 작은 값들에서 다시 확인합니다.
$N=0$: $\tfrac{1 \cdot 2}{2} = 1$.
$N=1$: $\tfrac{2 \cdot 3}{2} = 3$.
$N=2$: $\tfrac{3 \cdot 4}{2} = 6$.
$N=4$: $\tfrac{5 \cdot 6}{2} = 15$.
직접 센 결과와 모두 일치합니다.

$$\tfrac{1 \cdot 2}{2}, \tfrac{2 \cdot 3}{2}, \tfrac{3 \cdot 4}{2}, \tfrac{4 \cdot 5}{2}, \tfrac{5 \cdot 6}{2} = 1, 3, 6, 10, 15 \;\checkmark$$

💡 여러 입력에서 식과 실제 셈이 일치하는지 점검하는 것은 6학년 "두 식이 같은지 확인하기" 를 추측한 공식에 적용한 것입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.2 단계 6

이제 공식에 $N = 18$ 을 대입해서 남은 $18$ 개를 나누는 가짓수를 구합니다.
처음에 $2$ 개씩 선지급한 것은 일대일로 환산되는 정리이므로, 이 값이 곧 원래 문제의 답입니다.

$$\text{가짓수}(18) = \dfrac{(18+1)(18+2)}{2} = \dfrac{19 \times 20}{2} = \dfrac{380}{2} = 190 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 작은 경우에서 만든 식에 $N = 18$ 을 대입해 실제 문제로 일반화하는 것은 6학년 "식의 값 구하기" 단계입니다.

[1] #16 4.OA.A.3 조건을 먼저 "선지급" 해서 없애 버립니다. 세 사람에게 사과 $2$개씩을 미리 나눠 주면 $2 + 2 + 2 = 6$ 개가 쓰이고, 남은 $2

[2] #9 4.OA.C.5 이제 더 쉬운 부분 문제는 "$a + b + c = 18$, $a, b, c \ge 0$ 인 정수 순서쌍 $(a, b, c)$ 의 개수" 입니다

[3] #2 4.OA.C.5 각 작은 경우마다 순서쌍을 빠짐없이 나열합니다. 정렬 규칙은 $a$ 를 큰 값부터 작은 값으로, 그 다음 $b$ 순서로 두면 중복도 누락도 없습

[4] #5 6.EE.A.2 개수의 패턴 $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$ 는 삼각수입니다. 합이 $N$ 일 때 가짓수는 $\dfrac{(N+1)(N+2)}{2

[5] #5 6.EE.A.4 공식이 정말 맞는지 작은 값들에서 다시 확인합니다. $N=0$: $\tfrac{1 \cdot 2}{2} = 1$. $N=1$: $\tfrac{2

[6] #9 6.EE.A.2 이제 공식에 $N = 18$ 을 대입해서 남은 $18$ 개를 나누는 가짓수를 구합니다. 처음에 $2$ 개씩 선지급한 것은 일대일로 환산되는 정리

검토

합리성 확인: 답 $190$ 은 흔한 실수들을 노린 오답 선택지들 사이에 자리합니다 — $210 = \dbinom{21}{2}$ 은 칸막이 개수에서 사람 한 명을 빼지 않은 실수의 결과, $380 = 19 \times 20$ 은 $2$ 로 나누는 단계를 빼먹었을 때 나오는 값입니다. 삼각수 $\dfrac{19 \cdot 20}{2} = 190$ 이 정확히 $380$ 의 절반이라는 점도 "$(a, b)$ 짝짓기에서 $2$ 로 나누는 단계" 가 옳게 들어갔다는 좋은 검산이 됩니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 로 고전적인 "별과 막대" 그림을 떠올릴 수 있습니다 — $18$개의 별을 한 줄로 놓고 양 끝과 별 사이의 총 $20$ 자리 중 $2$ 자리를 골라 막대를 꽂으면 그 위치들이 $(a, b, c)$ 를 결정합니다. 가짓수는 $\dbinom{20}{2} = 190$ 으로, 같은 답을 다른 길로 다시 확인하게 됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 정수의 사칙연산을 사용한 다단계 문장제 해결 (최소량 "$\ge 2$" 조건을 먼저 처리하기 위해 $2 \times 3 = 6$ 개를 선지급하고 $24 - 6 = 18$ 개를 자유 분배 문제로 바꾸는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수나 모양 패턴 생성 ($N = 0, 1, 2, 3, 4$ 인 작은 합에 대해 순서쌍을 빠짐없이 나열하여 $1, 3, 6, 10, 15$ 라는 가짓수 패턴을 만들어 내는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 값을 구하기 (합 $N$ 에 대한 가짓수 식 $\tfrac{(N+1)(N+2)}{2}$ 을 세우고 $N = 18$ 을 대입해 $190$ 을 얻는 데 사용.)
6.EE.A.4 두 식이 서로 같은지 판별하기 (추측한 공식 $\tfrac{(N+1)(N+2)}{2}$ 이 $N = 0, 1, 2, 3, 4$ 에서 직접 센 가짓수와 모두 일치하는지 검증해 $N = 18$ 에 안심하고 적용하기 위함.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 식과 패턴만 알면 풀 수 있어요 — 작은 경우를 나열해서 삼각수 패턴을 찾고, 식에 $18$ 을 넣으면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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