AMC 8 · 2019 · #4

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

perimeterpythagorean-theoremarea-triangles identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremperimeterarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

사각형 $ABCD$ 는 둘레의 길이가 $52$ 미터인 마름모입니다. 대각선 $\overline{AC}$ 의 길이가 $24$ 미터일 때, 마름모 $ABCD$ 의 넓이는 몇 제곱미터입니까?

$\textbf{(A) }60\qquad\textbf{(B) }90\qquad\textbf{(C) }105\qquad\textbf{(D) }120\qquad\textbf{(E) }144$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

105

(D)

120

(E)

144

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마름모 $ABCD$의 둘레가 $52$ 미터이고, 한 대각선 $\overline{AC}$의 길이가 $24$ 미터입니다. 이 마름모의 넓이는 몇 제곱미터일까요?

주어진 것: $ABCD$ 는 마름모 (네 변의 길이가 모두 같음); 둘레 $= 52$ 미터; 대각선 $AC = 24$ 미터; 선택지: (A) $60$, (B) $90$, (C) $105$, (D) $120$, (E) $144$

구하는 것: 마름모 $ABCD$ 의 넓이 (제곱미터)

이해

문제 재정리: 마름모 $ABCD$의 둘레가 $52$ 미터이고, 한 대각선 $\overline{AC}$의 길이가 $24$ 미터입니다. 이 마름모의 넓이는 몇 제곱미터일까요?

주어진 것: $ABCD$ 는 마름모 (네 변의 길이가 모두 같음); 둘레 $= 52$ 미터; 대각선 $AC = 24$ 미터; 선택지: (A) $60$, (B) $90$, (C) $105$, (D) $120$, (E) $144$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

2차원 도형 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)부터 출발하는 것이 자연스럽습니다 — 마름모를 그리고 두 대각선을 그어 교점을 표시합니다. 두 대각선이 그어지면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 길이 또렷해집니다. 마름모는 네 개의 합동인 직각삼각형으로 나뉘므로, 문제는 (1) 둘레로 한 변 구하기, (2) 직각삼각형으로 모르는 반쪽 대각선 구하기, (3) 두 대각선을 넓이 공식에 넣기 — 이렇게 세 개의 작은 단계로 자연스레 분해됩니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 3.OA.A.3 단계 1

한 변의 길이를 구합니다.
마름모는 네 변의 길이가 같으므로 둘레를 $4$ 로 나누면 됩니다.

$$\text{한 변} = \dfrac{52}{4} = 13 \text{ 미터}$$

💡 전체 둘레를 똑같은 네 변에 똑같이 나눠 주는 것은 3학년 곱셈·나눗셈 문장제 그대로입니다.

#1 그림 그리기 5.G.B.4 단계 2

마름모에 두 대각선을 모두 그려 봅니다.
마름모의 대각선은 서로를 수직으로 이등분하므로, 교점 $M$ 에서 만나고 마름모를 네 개의 합동인 직각삼각형으로 나눕니다.
대각선 $AC$ 의 절반은 직각삼각형의 한 변이 되어 $AM = 24 / 2 = 12$ 미터입니다.

$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{24}{2} = 12 \text{ 미터}$$

💡 마름모의 대각선이 "서로 수직이고 이등분한다"는 사실은 5학년 "특별한 사각형 분류" 학습 내용에 들어 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

직각삼각형 $\triangle AMB$ 만 따로 봅니다.
빗변은 마름모의 한 변($AB = 13$), 한 다리는 $AM = 12$, 나머지 다리 $BM$ 이 두 번째 대각선의 모르는 반쪽입니다.
피타고라스 정리로 $BM$ 을 구합니다.

$$AM^2 + BM^2 = AB^2 \;\Rightarrow\; 12^2 + BM^2 = 13^2 \;\Rightarrow\; BM^2 = 169 - 144 = 25 \;\Rightarrow\; BM = 5$$

💡 마름모를 쪼개면 두 변을 아는 직각삼각형이 나오므로 — 정확히 8학년 피타고라스 정리가 들어맞는 상황입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.B.4 단계 4

대각선은 서로를 이등분하므로 $BM$ 을 두 배 해서 두 번째 대각선 $BD$ 의 전체 길이를 얻습니다.

$$BD = 2 \times BM = 2 \times 5 = 10 \text{ 미터}$$

💡 "대각선이 서로를 이등분한다"는 마름모의 성질을 거꾸로 써서 전체 길이를 복원하는 것은 여전히 5학년 사각형 추론입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

마름모의 넓이 공식 — 두 대각선의 곱의 절반 — 에 대입합니다.

$$\text{넓이} = \dfrac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \dfrac{1}{2} \times 24 \times 10 = 120 \text{ 제곱미터} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 특별한 사각형의 "두 대각선의 곱의 절반" 공식은 6학년 다각형 넓이 학습 내용입니다.

[1] #1 3.OA.A.3 한 변의 길이를 구합니다. 마름모는 네 변의 길이가 같으므로 둘레를 $4$ 로 나누면 됩니다.

[2] #1 5.G.B.4 마름모에 두 대각선을 모두 그려 봅니다. 마름모의 대각선은 서로를 수직으로 이등분하므로, 교점 $M$ 에서 만나고 마름모를 네 개의 합동인 직각

[3] #7 8.G.B.7 직각삼각형 $\triangle AMB$ 만 따로 봅니다. 빗변은 마름모의 한 변($AB = 13$), 한 다리는 $AM = 12$, 나머지 다리

[4] #7 5.G.B.4 대각선은 서로를 이등분하므로 $BM$ 을 두 배 해서 두 번째 대각선 $BD$ 의 전체 길이를 얻습니다.

[5] #7 6.G.A.1 마름모의 넓이 공식 — 두 대각선의 곱의 절반 — 에 대입합니다.

검토

합리성 확인: 직관 확인: 마름모는 두 대각선이 만드는 $24 \times 10$ 직사각형 안에 꼭 들어가는데, 그 직사각형의 넓이는 $240$ 입니다. 마름모는 그 직사각형의 정확히 절반(네 직각삼각형이 직사각형의 절반을 채움)이므로 $120$ 제곱미터가 나옵니다. 또 $60$ (납작한 마름모) 과 $144$ (한 변이 $12$ 인 정사각형 가정) 사이에 있어 크기 감각도 맞습니다. 따라서 (D) 가 확인됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 직각삼각형의 다리를 추측해 봅시다. 빗변이 $13$ 이고 다리가 정수인 피타고라스 트리플은 $5$–$12$–$13$ 하나뿐입니다. 이 사실을 알아채면 방정식 없이도 $BM = 5$ 가 즉시 보이고, 넓이 공식과 합치면 $(1/2)(24)(10) = 120$ 까지 두 줄이면 끝납니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

3.OA.A.3 $100$ 이하의 곱셈·나눗셈 문장제 해결 (마름모의 둘레 $52$ 를 네 변에 똑같이 나눠 한 변의 길이 $13$ 을 구하는 데 사용.)
5.G.B.4 성질에 따라 2차원 도형을 위계적으로 분류 ("네 변이 같다", "대각선이 서로를 수직 이등분한다" 는 마름모의 정의 속성을 사용해 반쪽 대각선을 표시하고 전체 길이를 복원.)
6.G.A.1 삼각형·특별한 사각형·다각형의 넓이를 합성·분할로 구하기 (두 대각선이 모두 구해진 뒤 마름모 넓이 공식 $\tfrac{1}{2} d_1 d_2$ 를 적용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 모르는 변 구하기 (다리 $AM = 12$, 빗변 $AB = 13$ 인 직각삼각형에서 모르는 반쪽 대각선 $BM$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리 — 마름모 안에 숨은 $5$-$12$-$13$ 직각삼각형 — 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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