AMC 8 · 2019 · #7
학년 6 arithmetic문제
샤우나는 시험을 다섯 번 보는데, 각 시험의 만점은 점입니다. 그녀가 처음 세 번의 시험에서 받은 점수는 각각 점, 점, 점입니다. 다섯 번의 시험 평균이 점이 되려면, 나머지 두 번의 시험 중 한 번에서 받을 수 있는 가장 낮은 점수는 몇 점입니까?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 샤우나는 시험을 다섯 번 보고, 시험마다 최고점은 $100$ 점입니다. 앞의 세 시험 점수는 $76$, $94$, $87$ 점입니다. 다섯 시험의 평균을 정확히 $81$ 점으로 맞추고 싶을 때, 아직 보지 않은 두 시험 중 한 시험에서 받을 수 있는 가장 낮은 점수는 몇 점일까요?
주어진 것: 시험은 모두 다섯 번, 각 시험 만점은 $100$ 점; 이미 본 세 시험 점수: $76$, $94$, $87$; 다섯 시험 평균 목표: $81$ 점; 선택지: (A) $48$, (B) $52$, (C) $66$, (D) $70$, (E) $74$
구하는 것: 남은 두 시험 중 한 시험에서 받을 수 있는 가장 낮은 점수
이해
문제 재정리: 샤우나는 시험을 다섯 번 보고, 시험마다 최고점은 $100$ 점입니다. 앞의 세 시험 점수는 $76$, $94$, $87$ 점입니다. 다섯 시험의 평균을 정확히 $81$ 점으로 맞추고 싶을 때, 아직 보지 않은 두 시험 중 한 시험에서 받을 수 있는 가장 낮은 점수는 몇 점일까요?
주어진 것: 시험은 모두 다섯 번, 각 시험 만점은 $100$ 점; 이미 본 세 시험 점수: $76$, $94$, $87$; 다섯 시험 평균 목표: $81$ 점; 선택지: (A) $48$, (B) $52$, (C) $66$, (D) $70$, (E) $74$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #3 가능성 지우기
한 문장처럼 보이지만 사실 (가) 다섯 시험 점수의 합은 얼마여야 하나, (나) 이미 받은 점수의 합은 얼마인가, (다) 남은 두 시험 점수의 합이 정해졌을 때 한 점수를 얼마나 낮출 수 있는가 — 이렇게 세 개의 작은 질문이 숨어 있어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 가장 자연스러운 출발점입니다. "평균이 $81$" 이라는 결과로부터 "점수 합 $= 405$" 라는 출발 조건을 되짚어 가는 부분은 도구 #11(거꾸로 풀기) 의 전형이고, 마지막에 (A)~(E) 보기를 대조해 보는 데에는 도구 #3(가능성 지우기) 이 무료 검산 역할을 합니다.
실행 — 정답: A
6.SP.A.3 단계 1 - 평균에서 거꾸로 거슬러 올라갑니다.
- 다섯 시험의 평균이 $81$ 이라는 말은, 다섯 점수의 합이 $5 \times 81 = 405$ 이어야 한다는 뜻입니다.
- ("합 $\div\ 5 = 81$" 의 반대 연산은 "합 $= 81 \times 5$" 입니다.)
💡 평균은 여러 수를 대표하는 하나의 수이므로, 평균에 개수를 곱하면 원래 합이 다시 나오는 것이 6학년에서 배우는 평균의 정의입니다.
4.NBT.B.4 단계 2 이미 본 세 시험에서 몇 점을 확보했는지 더해서, $405$ 점 예산 중 얼마가 이미 채워졌는지 확인합니다.
💡 여러 자리 수의 덧셈은 4학년 표준 그대로이고, 분수도 변수도 필요하지 않습니다.
4.NBT.B.4 단계 3 - 전체 필요 합에서 이미 받은 점수를 빼서, 남은 두 시험이 함께 채워야 할 점수를 구합니다.
- 남은 두 점수의 합은 $405 - 257 = 148$ 점이어야 합니다.
💡 $405$ 점 목표를 "이미 받은 점수" 와 "앞으로 받아야 할 점수" 로 쪼개는 것이 도구 #7 의 동작이고, 마무리는 4학년 뺄셈 한 번이면 됩니다.
4.OA.A.3 단계 4 - 두 점수 중 한쪽을 최대한 작게 만들려면, 다른 한쪽은 규칙이 허락하는 만큼 최대한 크게 만들어야 합니다.
- 각 시험의 만점이 $100$ 점이므로, 다른 한 시험을 $100$ 점으로 두면 나머지 점수는 $148 - 100 = 48$ 점으로 결정됩니다.
- $48$ 은 $0$ 점과 $100$ 점 사이라 규칙에도 어긋나지 않습니다.
💡 "두 수의 합이 정해져 있을 때 한쪽을 최대로 하면 다른 한쪽은 최소가 된다" 는 추론은 변수 없이도 가능한 4학년 다단계 문장제 사고입니다.
4.OA.A.3 단계 5 - 선택지를 대조해 검산합니다.
- $48$ 은 (A) 와 일치하고, 나머지 ($52, 66, 70, 74$) 는 모두 짝이 되는 점수가 $100$ 미만이 되어, 만점 여유를 다 쓰지 못한 — 즉 더 낮출 수 있었던 — 답들입니다.
💡 조건에 다시 넣어 보면 $48 + 100 = 148$ 로 들어맞고, 만점 $100$ 을 완전히 활용한 유일한 선택지가 (A) 임이 확인됩니다.
6.SP.A.3 평균에서 거꾸로 거슬러 올라갑니다. 다섯 시험의 평균이 $81$ 이라는 말은, 다섯 점수의 합이 $5 \times 81 = 405$ 이어야 한다 4.NBT.B.4 이미 본 세 시험에서 몇 점을 확보했는지 더해서, $405$ 점 예산 중 얼마가 이미 채워졌는지 확인합니다. 4.NBT.B.4 전체 필요 합에서 이미 받은 점수를 빼서, 남은 두 시험이 함께 채워야 할 점수를 구합니다. 남은 두 점수의 합은 $405 - 257 = 148 4.OA.A.3 두 점수 중 한쪽을 최대한 작게 만들려면, 다른 한쪽은 규칙이 허락하는 만큼 최대한 크게 만들어야 합니다. 각 시험의 만점이 $100$ 점이므로 4.OA.A.3 선택지를 대조해 검산합니다. $48$ 은 (A) 와 일치하고, 나머지 ($52, 66, 70, 74$) 는 모두 짝이 되는 점수가 $100$ 미 검토
합리성 확인: 다섯 점수의 합을 직접 확인하면 $76 + 94 + 87 + 100 + 48 = 405$ 이고, $405 \div 5 = 81$ 로 목표 평균과 정확히 일치합니다. $48$ 점은 앞의 세 점수($76, 87, 94$)에 비하면 꽤 낮아 보이지만, 문제는 "가장 낮을 수 있는" 점수를 묻고 있고 — 그렇게 한쪽으로 치우치려면 다른 한 시험에서 만점 $100$ 점을 받는 수밖에 없는데, 이는 규칙상 가능한 시나리오입니다. $48$ 보다 큰 답은 모두 다른 시험에 남아 있는 만점 여유를 다 쓰지 못한 답이므로, $48$ 이 진짜 최솟값입니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 만으로도 같은 답에 도달할 수 있습니다. 각 선택지 $X$ 에 대해 짝이 되는 시험은 $148 - X$ 점을 받아야 합니다 — (B)~(E) 는 짝 점수가 $96, 82, 78, 74$ 로 모두 $100$ 미만이라 "짝 점수를 더 키워서 이쪽을 더 낮출 수 있었다" 는 뜻이 되고, 오직 (A) $48$ 만이 짝 점수가 만점 $100$ 점에 딱 맞아서 진짜 최저점이 됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.NBT.B.4여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 (앞 세 시험 점수 합 $76 + 94 + 87 = 257$ 과 남은 두 시험 점수 합 $405 - 257 = 148$ 을 구하는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (남은 두 점수 중 한쪽을 만점 $100$ 으로 맞춰 다른 한쪽이 $148 - 100 = 48$ 로 결정됨을 추론하고, 선택지와 대조해 검산하는 데 사용.)6.SP.A.3대푯값(평균 등)이 자료 전체를 하나의 수로 요약함을 이해 (평균 $81$ 이라는 목표를 다섯 점수의 합 $5 \times 81 = 405$ 으로 바꾸는 — 산술 평균의 정의를 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 평균의 뜻(합 $\div$ 개수)만 알면 풀 수 있어요 — 나머지는 4학년 덧셈·뺄셈이면 충분합니다!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 평균의 뜻(합 $\div$ 개수)만 알면 풀 수 있어요 — 나머지는 4학년 덧셈·뺄셈이면 충분합니다!