AMC 8 · 2020 · #14
학년 6 arithmetic문제
뉴턴 카운티에는 개의 도시가 있습니다. 각 도시의 인구는 아래 막대그래프와 같습니다. 모든 도시의 평균 인구는 가로 점선으로 표시되어 있습니다. 다음 중 개 도시의 총인구에 가장 가까운 것은 무엇입니까?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 뉴턴 카운티의 $20$ 개 도시 인구가 막대그래프에 나와 있고, 수평 점선이 $20$ 개 도시의 평균 인구를 표시합니다. 막대를 하나하나 더하지 않고 이 점선만으로 전체 인구를 어림하여, 보기 다섯 개 중 가장 가까운 값을 고르는 문제입니다.
주어진 것: 도시 수는 정확히 $20$ 개; 각 도시의 인구가 막대그래프의 한 막대로 표시됨; 수평 점선이 $20$ 개 도시의 평균 인구를 표시함; y축은 $2000, 4000, 6000, 8000$ 에 라벨이 있고, 사이마다 $500$ 간격의 작은 눈금이 있음; 보기: (A) $65{,}000$, (B) $75{,}000$, (C) $85{,}000$, (D) $95{,}000$, (E) $105{,}000$
구하는 것: $20$ 개 도시의 전체 인구(에 가장 가까운 보기)
이해
문제 재정리: 뉴턴 카운티의 $20$ 개 도시 인구가 막대그래프에 나와 있고, 수평 점선이 $20$ 개 도시의 평균 인구를 표시합니다. 막대를 하나하나 더하지 않고 이 점선만으로 전체 인구를 어림하여, 보기 다섯 개 중 가장 가까운 값을 고르는 문제입니다.
주어진 것: 도시 수는 정확히 $20$ 개; 각 도시의 인구가 막대그래프의 한 막대로 표시됨; 수평 점선이 $20$ 개 도시의 평균 인구를 표시함; y축은 $2000, 4000, 6000, 8000$ 에 라벨이 있고, 사이마다 $500$ 간격의 작은 눈금이 있음; 보기: (A) $65{,}000$, (B) $75{,}000$, (C) $85{,}000$, (D) $95{,}000$, (E) $105{,}000$
계획
주요 도구: #11 거꾸로 풀기
보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기
그래프는 이미 평균을 계산해서 보여 줍니다 — 즉 "전체 인구를 $20$ 으로 나눈 결과" 가 점선입니다. 그러니 그 나눗셈을 거꾸로 되돌리기만 하면 됩니다. 도구 #11(거꾸로 풀기) 로 평균에 다시 $20$ 을 곱하는 것이지요. 도구 #1(그림 그리기) 은 y축 작은 눈금까지 살펴 점선의 값을 정확히 읽어내는 데 사용하고, 도구 #3(가능성 지우기) 은 AMC 객관식의 마무리 — 계산한 총합에 가장 가까운 보기를 고르는 데 사용합니다.
실행 — 정답: D
3.MD.B.3 단계 1 - 점선의 값을 y축에서 읽습니다.
- y축에는 $2000, 4000, 6000, 8000$ 에 굵은 라벨이 있고, 그 사이를 작은 눈금이 $500$ 간격으로 네 등분합니다.
- 즉 $4000$ 과 $6000$ 사이에 $4500, 5000, 5500$ 눈금이 있고, 점선은 $4{,}500$ 과 $5{,}000$ 눈금의 정확히 중간에 위치합니다.
💡 막대그래프의 눈금 있는 축에서 값을 읽어내는 것은 3학년 "척도가 있는 막대그래프" 그대로입니다.
6.SP.A.3 단계 2 - "평균" 의 정의를 되짚어 봅니다.
- 점선의 값은 $20$ 개 도시 인구를 모두 더한 뒤 $20$ 으로 나눈 결과입니다.
- 따라서 평균에 다시 $20$ 을 곱하면 그 나눗셈이 풀려, 잃었던 전체 인구가 돌아옵니다 — 도구 #11(거꾸로 풀기) 의 핵심 동작이지요.
💡 평균이 전체 자료를 하나의 대푯값으로 요약한다는 것(평균 $\times$ 개수 $=$ 합) 은 6학년 "중심 경향성(measure of center)" 개념입니다.
4.NBT.B.5 단계 3 - 1단계의 평균을 2단계의 식에 대입합니다.
- $4{,}750 \times 20$ 은 $4750 \times 2 \times 10$ 으로 쪼개서 계산하면 한층 쉽습니다.
💡 네 자리 수에 한 자리 수를 곱한 뒤 $10$ 을 곱하는 것은 4학년 다자리 수 곱셈입니다.
4.NBT.A.2 단계 4 - $95{,}000$ 을 다섯 개 보기와 비교합니다.
- 보기들은 $10{,}000$ 씩 떨어져 있고, 계산한 $95{,}000$ 이 그 중 한 값과 정확히 일치하므로, "가장 가까운" 보기는 그 값 자신입니다.
💡 여러 자리 자연수의 크기를 비교해 가장 가까운 값을 고르는 것은 4학년 자릿값 비교입니다.
3.MD.B.3 점선의 값을 y축에서 읽습니다. y축에는 $2000, 4000, 6000, 8000$ 에 굵은 라벨이 있고, 그 사이를 작은 눈금이 $500$ 6.SP.A.3 "평균" 의 정의를 되짚어 봅니다. 점선의 값은 $20$ 개 도시 인구를 모두 더한 뒤 $20$ 으로 나눈 결과입니다. 따라서 평균에 다시 $2 4.NBT.B.5 1단계의 평균을 2단계의 식에 대입합니다. $4{,}750 \times 20$ 은 $4750 \times 2 \times 10$ 으로 쪼개서 계 4.NBT.A.2 $95{,}000$ 을 다섯 개 보기와 비교합니다. 보기들은 $10{,}000$ 씩 떨어져 있고, 계산한 $95{,}000$ 이 그 중 한 값과 검토
합리성 확인: 막대를 눈으로 훑어 봐도, 대부분 $1{,}500$ 에서 $8{,}000$ 사이에 분포하고 점선 위·아래 막대 수가 거의 반반이라 평균 $4{,}750$ 은 시각적으로 자연스럽습니다. 실제로 모든 막대를 더해 보면 $8750+3800+5000+2900+6400+7500+4100+1400+2600+1470+2600+7100+4070+7500+7000+8100+1900+1600+5850+5750 = 95{,}000$ 으로 정확히 일치합니다. 답 (D) 와 모순이 없습니다.
대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 직접 합산하는 방법도 있습니다 — 막대 $20$ 개를 $10$ 개씩 두 묶음으로 나눠 각각 합한 뒤 다 더하면 됩니다. 정답은 같지만 시간이 훨씬 오래 걸리고 계산 실수 위험도 큽니다. 평균을 활용한 거꾸로 풀기는 "출제자가 이미 더해 둔 결과를 가져다 쓰는" AMC 식 우아한 한 수입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.MD.B.3척도가 있는 그림그래프와 막대그래프를 그리고 해석하기 (점선이 놓인 위치를 y축에서 읽어 평균 인구 $4{,}750$ 을 파악하는 데 사용($4{,}500$ 눈금과 $5{,}000$ 눈금의 한가운데).)6.SP.A.3중심 경향성이 자료 전체를 하나의 수로 요약함을 이해하기 (평균 $=$ (전체 인구) $\div 20$ 이라는 정의로부터, 전체 인구 $=$ 평균 $\times 20$ 임을 끌어내는 데 사용.)4.NBT.B.5최대 네 자리 자연수에 한 자리 수를 곱하기 ($4{,}750 \times 20 = 95{,}000$ 을 $4750 \times 2 \times 10$ 으로 분해해 계산.)4.NBT.A.2다자리 자연수를 읽고 쓰며 부등호로 비교하기 ($95{,}000$ 과 다섯 개 보기를 비교해 가장 가까운 (D) 를 고르는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "평균은 자료 전체의 대푯값" 만 알면 풀 수 있어요 — 평균 $\times$ 개수 $=$ 전체, 이 한 줄이면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "평균은 자료 전체의 대푯값" 만 알면 풀 수 있어요 — 평균 $\times$ 개수 $=$ 전체, 이 한 줄이면 끝!