AMC 8 · 2020 · #23
학년 7 counting문제
서로 다른 상 개를 세 명의 학생에게 나누어 주려고 합니다. 각 학생은 적어도 하나의 상을 받습니다. 상을 나누어 주는 서로 다른 방법의 수는 몇 가지입니까?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 서로 다른 상 $5$ 개와 서로 다른 학생 $3$ 명이 있습니다. 상 한 개는 반드시 학생 한 명에게만 주고, 학생 누구도 빈손이 되지 않도록(즉 모든 학생이 적어도 한 개 이상 받도록) 나눠 줄 때, 서로 다른 분배 방법은 모두 몇 가지일까요?
주어진 것: 서로 다른 상 $5$ 개 (각 상은 구별됨); 서로 다른 학생 $3$ 명 (학생도 서로 구별됨); 상 한 개는 정확히 한 학생에게만 주어짐; 모든 학생이 상을 적어도 $1$ 개씩은 받아야 함; 선택지: (A) $120$, (B) $150$, (C) $180$, (D) $210$, (E) $240$
구하는 것: 상 $5$ 개를 학생 $3$ 명에게 나누어 주는 서로 다른 분배 방법의 가짓수
이해
문제 재정리: 서로 다른 상 $5$ 개와 서로 다른 학생 $3$ 명이 있습니다. 상 한 개는 반드시 학생 한 명에게만 주고, 학생 누구도 빈손이 되지 않도록(즉 모든 학생이 적어도 한 개 이상 받도록) 나눠 줄 때, 서로 다른 분배 방법은 모두 몇 가지일까요?
주어진 것: 서로 다른 상 $5$ 개 (각 상은 구별됨); 서로 다른 학생 $3$ 명 (학생도 서로 구별됨); 상 한 개는 정확히 한 학생에게만 주어짐; 모든 학생이 상을 적어도 $1$ 개씩은 받아야 함; 선택지: (A) $120$, (B) $150$, (C) $180$, (D) $210$, (E) $240$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기 (여집합 세기)
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
"적어도 한 개씩" 이라는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기 — 여집합 세기) 의 대표적인 신호입니다. 좋은 경우를 곧바로 세는 대신, 제한 없이 전부 세어 본 다음 나쁜 경우(상을 한 개도 못 받는 학생이 생기는 경우) 를 빼면 깔끔합니다. 그런데 나쁜 경우 자체도 쪼개야 하므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 을 함께 씁니다 — 먼저 "어떤 한 학생이 빈손" 인 경우를 빼고, 그 안에서 두 번 빠진 "두 학생이 동시에 빈손" 인 경우를 다시 더해 줍니다(포함-배제). 검증용으로는 도구 #3(가능성 지우기) 을 사용해서 분배 형태를 $(3,1,1)$ 또는 $(2,2,1)$ 두 경우로 나눠 세고, 두 합계가 같은 답으로 모이는지 확인해 다른 선택지를 지웁니다.
실행 — 정답: B
6.EE.A.1 단계 1 - 먼저 "모두에게 줘야 한다" 는 조건을 무시한 채 모든 분배 방법의 수를 셉니다.
- 상 $5$ 개 각각이 학생 $3$ 명 중 누구에게나 갈 수 있고 그 선택이 서로 독립이므로, 곱셈의 원리에 따라 $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5$ 가지 입니다.
💡 $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ 을 $3^5$ 로 쓰는 것은 6학년 자연수 거듭제곱 표현 그대로입니다.
7.SP.C.8 단계 2 - 이제 "적어도 한 명이 빈손" 인 나쁜 경우를 뺍니다.
- 빈손이 될 학생을 먼저 고르는 방법은 $\binom{3}{1} = 3$ 가지이고, 그 학생을 제외하면 상 $5$ 개를 남은 두 학생에게 자유롭게 나눠 주는 방법이 $2^5 = 32$ 가지이므로 곱해서 $3 \cdot 32 = 96$ 가지입니다.
💡 "빈손이 될 학생부터 정하고, 그 다음 남은 사람에게 나눠 주기" 처럼 단계로 쪼개 세는 것이 7학년 복합사건 정리표 사고방식입니다.
7.SP.C.8 단계 3 - 그런데 위에서 너무 많이 뺐습니다.
- 예를 들어 학생 $A$ 도 학생 $B$ 도 모두 빈손인 분배는, $A$ 가 빈손인 경우를 뺄 때 한 번, $B$ 가 빈손인 경우를 뺄 때 또 한 번, 즉 두 번 빠졌습니다.
- 이런 "두 명 동시에 빈손" 인 경우를 한 번 다시 더해 줘야 합니다.
- 빈손 학생 두 명을 고르는 방법은 $\binom{3}{2} = 3$ 가지이고, 남은 한 학생에게 상 $5$ 개를 모두 주는 방법은 $1^5 = 1$ 가지입니다.
💡 중복으로 빠진 경우를 알아채고 다시 더해 주는 것은 7학년 복합사건에서 "겹친 부분 처리" 의 핵심 사고입니다.
7.SP.C.8 단계 4 - 세 값을 포함-배제 순서로 합칩니다 — 전체에서 한 명 빈손을 빼고, 두 명 빈손을 더합니다.
- (세 명이 모두 빈손인 경우는 상이 어딘가로 가야 하므로 애초에 불가능해서 빼 줄 항이 없습니다.)
💡 경우의 수를 더하고 빼는 순서를 잘 맞춰 이중 계산을 피하는 것이 7학년 복합사건 세기의 표준 방법입니다.
6.EE.A.1 먼저 "모두에게 줘야 한다" 는 조건을 무시한 채 모든 분배 방법의 수를 셉니다. 상 $5$ 개 각각이 학생 $3$ 명 중 누구에게나 갈 수 있 7.SP.C.8 이제 "적어도 한 명이 빈손" 인 나쁜 경우를 뺍니다. 빈손이 될 학생을 먼저 고르는 방법은 $\binom{3}{1} = 3$ 가지이고, 그 학 7.SP.C.8 그런데 위에서 너무 많이 뺐습니다. 예를 들어 학생 $A$ 도 학생 $B$ 도 모두 빈손인 분배는, $A$ 가 빈손인 경우를 뺄 때 한 번, $ 7.SP.C.8 세 값을 포함-배제 순서로 합칩니다 — 전체에서 한 명 빈손을 빼고, 두 명 빈손을 더합니다. (세 명이 모두 빈손인 경우는 상이 어딘가로 가야 검토
합리성 확인: 제한이 전혀 없다면 답은 $3^5 = 243$ 입니다. "모두에게 적어도 한 개" 라는 조건이 한쪽으로 쏠린 분배(예: 한 학생이 모든 상을 가져가는 경우 등) 를 잘라 내므로, 답은 반드시 $243$ 보다 작아야 합니다. 선택지 중 (A) $120$, (B) $150$, (C) $180$, (D) $210$ 이 모두 $243$ 보다 작지만, (E) $240$ 은 "걸러진 나쁜 경우가 거의 없다" 는 뜻이라 비합리적입니다(한 학생이 다 가져가는 경우만 해도 꽤 많기 때문). 포함-배제로 정확히 $150$ 이 나오므로 답 (B) 와 잘 맞아떨어집니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 분배 형태 자체를 케이스로 나눠 검증합니다. 상이 $5$ 개고 모두에게 $\ge 1$ 이어야 하므로 가능한 분포 형태는 $(3,1,1)$ 과 $(2,2,1)$ 두 가지뿐입니다. 형태 $(3,1,1)$: $3$ 개를 받을 학생을 고르는 $3$ 가지 $\times$ 그 학생이 받을 $3$ 개를 $5$ 개에서 고르는 $\binom{5}{3} = 10$ 가지 $\times$ 남은 $2$ 명에게 남은 $2$ 개를 한 개씩 나누는 $2! = 2$ 가지 $= 3 \cdot 10 \cdot 2 = 60$ 가지. 형태 $(2,2,1)$: $1$ 개만 받을 학생을 고르는 $3$ 가지 $\times$ 그 학생이 받을 상을 $5$ 개에서 고르는 $5$ 가지 $\times$ 남은 $4$ 개 중 한 학생이 받을 $2$ 개를 고르는 $\binom{4}{2} = 6$ 가지 $= 3 \cdot 5 \cdot 6 = 90$ 가지. 합 $60 + 90 = 150$, 역시 (B).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.EE.A.1자연수 거듭제곱이 포함된 수식을 쓰고 계산하기 (곱셈의 원리에서 나온 $3^5 = 243$, $2^5 = 32$, $1^5 = 1$ 을 거듭제곱으로 알아보고 계산하는 데 사용.)7.SP.C.8정리된 목록·표·시뮬레이션으로 복합사건의 확률(경우의 수) 구하기 ("어떤 학생이 빈손인가"·"상은 누구에게 가는가" 같은 복합사건을 단계별로 세고, $243 - 96 + 3 = 150$ 처럼 포함-배제 순서로 합치는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "전체에서 나쁜 경우를 빼는 복합사건 세기" 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "전체에서 나쁜 경우를 빼는 복합사건 세기" 만 알면 풀 수 있어요!
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
