AMC 8 · 2022 · #10

학년 6 rate-ratio

rategraph-readingslope-intercept identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: rategraph-reading

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

화창한 어느 날, 링(Ling)은 산으로 등산을 가기로 했습니다. 그녀는 오전 $8$ 시에 집을 출발해 시속 $45$ 마일의 일정한 속력으로 운전하여 오전 $10$ 시에 등산로 입구에 도착했습니다. $3$ 시간 동안 등산을 한 후, 링은 시속 $60$ 마일의 일정한 속력으로 운전하여 집으로 돌아왔습니다. 다음 중 링이 여행하는 동안 그녀의 차와 집 사이의 거리를 가장 잘 나타낸 그래프는 무엇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(distance-time graph) peak 90 mi at hours 3-6, returns to 0 at hour 8 (slower return)

(B)

(distance-time graph) peak 45 mi at hours 3-6, returns to 0 at hour 8

(C)

(distance-time graph) peak 45 mi at hours 3-6, returns to 0 at hour 7.5

(D)

(distance-time graph) peak 120 mi at hours 3-6, returns to 0 at hour 9.3

(E)

(distance-time graph) peak 90 mi at hours 3-6, returns to 0 at hour 7.5

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 링은 오전 $8$시에 집을 나서 시속 $45$ 마일로 운전해 오전 $10$시에 등산로 입구에 도착합니다. $3$ 시간 동안 등산하는 사이 차는 그 자리에 세워져 있고, 그 뒤에는 시속 $60$ 마일로 다시 집까지 운전해 돌아옵니다. (A)~(E) 다섯 개의 거리-시간 그래프 중 "올라가는 직선 → 평평한 구간 → 더 가파르게 내려오는 직선" 의 세 조각이 이 상황과 일치하는 그래프 하나를 골라야 합니다.

주어진 것: 출발 오전 $8$시, 등산로 도착 오전 $10$시 (운전 $2$ 시간); 갈 때 운전 속력 $= $ 시속 $45$ 마일 (일정); 등산 시간 $= 3$ 시간 (차는 주차된 채로 있음); 돌아올 때 운전 속력 $= $ 시속 $60$ 마일 (일정); 그래프 (A)~(E) 가 각각 다른 최고 거리·도착 시각으로 축에 표시되어 있음

구하는 것: 전체 여정 동안 차와 집 사이의 거리를 올바르게 보여 주는 그래프 한 개 (A, B, C, D, E 중)

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #7 작은 문제로 쪼개기

선택지가 다섯 개의 그래프로 직접 주어졌으니, AMC 객관식의 정석인 도구 #3(가능성 지우기) 이 가장 자연스럽습니다. 정답 그래프가 반드시 가져야 할 "기준점 세 가지" 를 미리 계산해 두고, 하나라도 어긋나는 그래프는 차례차례 지워 가는 방식입니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 은 비율 계산을 깔끔하게 만들어 줍니다 — 시속(mph) $\times$ 시간(hr) 은 "시간" 이 약분되어 "마일" 만 남고, 마일 $\div$ 시속 은 "마일" 이 약분되어 "시간" 만 남기 때문에 $90$ 마일 최고점과 $1.5$ 시간 귀가가 단단히 확인됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 여정을 "갈 때 운전 / 등산 / 돌아올 때 운전" 세 조각으로 나누어 한 번에 그래프 전체를 노려보지 않게 해 줍니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.A.2 단계 1

여정을 그래프의 세 구간에 대응하는 세 개의 작은 문제로 쪼갭니다 — (1) 등산로까지 운전, (2) 차를 세워 둔 채 등산, (3) 집으로 운전.
각 구간이 그래프와 비교할 "기준점" 한 가지씩을 만들어 줍니다.

$$\text{여정} = \underbrace{\text{갈 때 운전}}_{\text{올라가는 직선}} + \underbrace{\text{등산}}_{\text{평평한 직선}} + \underbrace{\text{돌아올 때 운전}}_{\text{내려오는 직선}}$$

💡 실생활 상황을 좌표 그래프 위의 사건에 대응시키는 일은 5학년 "좌표 평면에서 실세계 문제 표현" 그대로입니다.

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.2 단계 2

최고 거리부터 계산합니다.
등산로까지 운전은 $10 - 8 = 2$ 시간이 걸리고 속력은 시속 $45$ 마일이므로, "시속 $\times$ 시간" 에서 시간 단위가 약분되어 마일만 남습니다.
등산 시작 시점에 차는 집에서 $90$ 마일 떨어진 곳에 있습니다.

$$45 \,\tfrac{\text{마일}}{\text{시간}} \times 2 \,\text{시간} = 90 \,\text{마일}$$

💡 거리 $= $ 속력 $\times$ 시간을 단위를 맞춰 적용하는 것은 4학년 거리·시간 문장제 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 5.G.A.2 단계 3

$90$ 마일이라는 최고점을 이용해 평평한 구간 높이가 어긋나는 그래프를 지웁니다.
y축 한 칸은 $30$ 마일입니다.
(B), (C) 는 $45$ 마일에서 평평하고, (D) 는 $120$ 마일에서 평평하므로 셋 다 탈락입니다.
남는 후보는 (A) 와 (E) 입니다.

탈락: $\text{(B)}, \text{(C)}, \text{(D)}$ — 최고점 불일치. 생존: $\text{(A)}, \text{(E)}$.

💡 y축 눈금에서 좌표 값을 읽어 $90$ 마일과 비교하는 것은 5학년 좌표 평면 추론입니다.

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.2 단계 4

이제 링이 집에 도착하는 시각을 계산해 (A) 와 (E) 중에서 고릅니다.
돌아오는 길은 $90$ 마일을 시속 $60$ 마일로 가므로 $90 \div 60 = 1.5$ 시간이 걸립니다.
오전 $10$시에 시작된 $3$ 시간 등산이 오후 $1$시에 끝나므로, 집 도착 시각은 오후 $2$시 $30$분입니다.

$$\dfrac{90 \,\text{마일}}{60 \,\tfrac{\text{마일}}{\text{시간}}} = 1.5 \,\text{시간} \;\Rightarrow\; \text{도착} = \text{오후 } 1\text{시} + 1.5\,\text{시간} = \text{오후 } 2\text{시 } 30\text{분}$$

💡 시간 $= $ 거리 $\div$ 속력 역시 단위 마일·시속이 맞으면 같은 4학년 거리·시간 관계식의 변형입니다.

#3 가능성 지우기 5.G.A.2 단계 5

도착 시각으로 마지막 후보를 거릅니다.
(A) 의 내려오는 선분은 오후 $3$시($2$시에서 한 칸 더) 에서 $0$ 에 닿지만, 링은 오후 $2$시 $30$분에 도착해야 합니다.
(E) 는 오후 $2$시와 $3$시의 정확히 가운데에서 $0$ 에 닿습니다.
따라서 (A) 가 탈락하고 (E) 가 정답입니다.

$\text{(A)}$ 종료 $= $ 오후 $3$시 — 불일치. $\text{(E)}$ 종료 $= $ 오후 $2$시 $30$분 — 일치. $\;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$

💡 그래프가 x축과 만나는 x좌표를 읽는 것은 5학년 좌표 평면 작업입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 6

(E) 의 기울기까지 속력과 맞는지 확인합니다.
$60 > 45$ 이므로 돌아올 때 선분이 갈 때 선분보다 가팔라야 합니다.
(E) 에서 올라가는 선분은 $2$ 시간에 $90$ 마일(기울기 $45$), 내려오는 선분은 $1.5$ 시간에 $90$ 마일(기울기 $60$) 이므로 실제로 더 가파릅니다.
(E) 가 모든 검사를 통과합니다.

$$\text{올라가는 기울기} = \tfrac{90}{2} = 45,\; \text{내려오는 기울기} = \tfrac{90}{1.5} = 60 \;\Rightarrow\; \text{내려오는 쪽이 더 가파름} \;\checkmark$$

💡 더 빠른 단위율(시속) 이 더 가파른 선분에 대응한다는 것은 6학년 단위율 추론입니다.

[1] #7 5.G.A.2 여정을 그래프의 세 구간에 대응하는 세 개의 작은 문제로 쪼갭니다 — (1) 등산로까지 운전, (2) 차를 세워 둔 채 등산, (3) 집으로 운

[2] #8 4.MD.A.2 최고 거리부터 계산합니다. 등산로까지 운전은 $10 - 8 = 2$ 시간이 걸리고 속력은 시속 $45$ 마일이므로, "시속 $\times$ 시간

[3] #3 5.G.A.2 $90$ 마일이라는 최고점을 이용해 평평한 구간 높이가 어긋나는 그래프를 지웁니다. y축 한 칸은 $30$ 마일입니다. (B), (C) 는 $4

[4] #8 4.MD.A.2 이제 링이 집에 도착하는 시각을 계산해 (A) 와 (E) 중에서 고릅니다. 돌아오는 길은 $90$ 마일을 시속 $60$ 마일로 가므로 $90 \

[5] #3 5.G.A.2 도착 시각으로 마지막 후보를 거릅니다. (A) 의 내려오는 선분은 오후 $3$시($2$시에서 한 칸 더) 에서 $0$ 에 닿지만, 링은 오후 $

[6] #8 6.RP.A.2 (E) 의 기울기까지 속력과 맞는지 확인합니다. $60 > 45$ 이므로 돌아올 때 선분이 갈 때 선분보다 가팔라야 합니다. (E) 에서 올라가

검토

합리성 확인: 기준점 세 개가 모두 맞아떨어집니다. 최고 거리 $= 45 \times 2 = 90$ 마일, 귀가 소요 시간 $= 90 \div 60 = 1.5$ 시간, 전체 여정 $= 2 + 3 + 1.5 = 6.5$ 시간으로 오전 $8$시에서 정확히 오후 $2$시 $30$분 — 그래프 (E) 가 $0$ 에 닿는 그 자리입니다. 돌아오는 기울기($60$) 가 가는 기울기($45$) 보다 더 가파른 네 번째 독립 검사까지 (E) 가 만족하므로 정답으로 확실합니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 로 더 깔끔하게 갈 수도 있습니다 — 빈 좌표축에 $(\text{오전 } 8\text{시},\,0)$, $(\text{오전 } 10\text{시},\,90)$, $(\text{오후 } 1\text{시},\,90)$, $(\text{오후 } 2\text{시 } 30\text{분},\,0)$ 네 점을 찍고 선으로 잇기만 하면 (A)~(E) 중 같은 모양은 한눈에 (E) 입니다. 비율 계산 두 번 외에는 추가 작업이 필요 없습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.MD.A.2 거리, 시간, 액체의 부피, 돈을 포함한 문장제 해결 (거리 $= $ 속력 $\times$ 시간을 적용해 최고점 $45 \times 2 = 90$ 마일과 귀가 소요 시간 $90 \div 60 = 1.5$ 시간을 계산하는 데 사용.)
5.G.A.2 좌표 평면에서 점을 찍어 실세계·수학 문제 표현 (후보 그래프들의 좌표축에서 최고점 높이와 $0$ 에 닿는 시각을 읽어 계산한 기준점과 비교하는 데 사용.)
6.RP.A.2 단위율(unit rate) 개념 이해와 비율 언어 사용 (돌아올 때의 더 빠른 속력(시속 $60$ 마일) 이 그래프에서 더 가파른 선분에 대응한다는 점을 확인해 (E) 를 최종 확정하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "거리·속력·시간" 의 단위율 추론만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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