AMC 8 · 2022 · #18
학년 6 geometry-2d문제
어떤 직사각형의 네 변의 중점이 입니다. 이 직사각형의 넓이는 얼마입니까?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 어떤 직사각형의 네 변의 중점이 각각 $(-3,0)$, $(2,0)$, $(5,4)$, $(0,4)$ 에 있습니다. 직사각형의 꼭짓점은 알려 주지 않고 이 네 중점만 주어졌을 때, 원래 직사각형의 넓이를 구하시오.
주어진 것: 네 변의 중점(각 변마다 하나씩): $(-3,0)$, $(2,0)$, $(5,4)$, $(0,4)$; 이 네 점은 한 직사각형의 네 변의 중점이다 (직사각형 자체는 그려져 있지 않다); 선택지: (A) $20$, (B) $25$, (C) $40$, (D) $50$, (E) $80$
구하는 것: 원래 직사각형의 넓이
이해
문제 재정리: 어떤 직사각형의 네 변의 중점이 각각 $(-3,0)$, $(2,0)$, $(5,4)$, $(0,4)$ 에 있습니다. 직사각형의 꼭짓점은 알려 주지 않고 이 네 중점만 주어졌을 때, 원래 직사각형의 넓이를 구하시오.
주어진 것: 네 변의 중점(각 변마다 하나씩): $(-3,0)$, $(2,0)$, $(5,4)$, $(0,4)$; 이 네 점은 한 직사각형의 네 변의 중점이다 (직사각형 자체는 그려져 있지 않다); 선택지: (A) $20$, (B) $25$, (C) $40$, (D) $50$, (E) $80$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
문제가 순전히 좌표평면 위의 네 점에 관한 공간 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 첫걸음으로 가장 자연스럽습니다 — 모눈종이에 네 중점을 찍으면 모양이 바로 보입니다. 그림이 그려지면 문제는 두 개의 작은 문제(도구 #7)로 쪼개집니다: 먼저 중점들이 만드는 안쪽 평행사변형의 넓이를 구하고, 그 다음에 그 넓이가 직사각형 전체 넓이와 어떤 비율인지 알아내면 됩니다. 이 비율을 정리(Varignon 정리) 없이 직접 발견하려면 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 딱입니다 — 좌표축에 평행한 간단한 직사각형을 하나 골라 중점을 손으로 찍어 보면, 안쪽 마름모의 넓이가 정확히 원 직사각형의 절반임이 곧바로 드러나고, 같은 비율을 우리 문제에 그대로 가져다 쓸 수 있습니다.
실행 — 정답: C
5.G.A.2 단계 1 - 모눈종이에 네 중점을 찍고 순서대로 잇습니다: $A=(-3,0) \to B=(2,0) \to C=(5,4) \to D=(0,4) \to A$.
- 변 $AB$ 는 $y=0$ 위에, 변 $DC$ 는 $y=4$ 위에 가로로 놓여 있고, 그림을 보면 기울어진 평행사변형이 직사각형 안쪽에 들어가 있는 모습이 나타납니다.
💡 순서쌍 네 개를 좌표평면에 찍는 것은 5학년 좌표 그래프 그리기 그대로입니다.
6.G.A.3 단계 2 - 안쪽 평행사변형 $ABCD$ 의 넓이를 구합니다.
- 변 $AB$ 는 $y=0$ 위에 가로로 놓여 있고 길이는 $|2-(-3)|=5$, 마주보는 변 $DC$ 는 $y=4$ 위에 가로로 놓여 있으므로 두 변 사이의 수직 높이는 $4$ 입니다.
- 넓이 $= $ 밑변 $\times$ 높이.
💡 작은 문제 1: 좌표에서 평행사변형의 밑변과 높이를 바로 읽어 내는 6학년 좌표 다각형 풀이입니다.
6.G.A.1 단계 3 - 더 쉬운 문제로 "직사각형 : 중점 평행사변형" 의 넓이 비율을 직접 발견합니다.
- 꼭짓점이 $(0,0),(6,0),(6,4),(0,4)$ 인 간단한 $6\times 4$ 직사각형을 가져옵니다.
- 네 변의 중점은 $(3,0),(6,2),(3,4),(0,2)$ 가 되어, 대각선이 $6$ 과 $4$ 인 마름모를 이룹니다.
- 이 마름모의 넓이는 $\tfrac{1}{2}\times 6 \times 4 = 12$ 이고, 직사각형 넓이 $6\times 4 = 24$ 의 정확히 절반입니다.
- 따라서 어떤 직사각형이든 "중점들이 만드는 도형의 넓이 = 직사각형 넓이의 $\tfrac{1}{2}$" 입니다.
💡 좌표축에 평행한 간단한 직사각형 하나로 시험해 보면 정리 없이도 $\tfrac{1}{2}$ 비율을 찾을 수 있는 6학년 도형 분해·합성 방법입니다.
6.G.A.1 단계 4 - 방금 찾은 비율을 우리 문제에 적용합니다.
- 중점 평행사변형의 넓이가 $20$ 이고, 이는 직사각형 넓이의 $\tfrac{1}{2}$ 이므로 직사각형의 넓이는 $20$ 의 두 배입니다.
💡 작은 문제 2: 안쪽 도형의 넓이와 비율을 합쳐 최종 답을 만드는 6학년 넓이 합성입니다.
5.G.A.2 모눈종이에 네 중점을 찍고 순서대로 잇습니다: $A=(-3,0) \to B=(2,0) \to C=(5,4) \to D=(0,4) \to A$. 6.G.A.3 안쪽 평행사변형 $ABCD$ 의 넓이를 구합니다. 변 $AB$ 는 $y=0$ 위에 가로로 놓여 있고 길이는 $|2-(-3)|=5$, 마주보는 변 6.G.A.1 더 쉬운 문제로 "직사각형 : 중점 평행사변형" 의 넓이 비율을 직접 발견합니다. 꼭짓점이 $(0,0),(6,0),(6,4),(0,4)$ 인 간 6.G.A.1 방금 찾은 비율을 우리 문제에 적용합니다. 중점 평행사변형의 넓이가 $20$ 이고, 이는 직사각형 넓이의 $\tfrac{1}{2}$ 이므로 직사 검토
합리성 확인: 그림을 다시 봅시다. 네 중점은 $x=-3$ 부터 $x=5$ 까지(너비 $8$), $y=0$ 부터 $y=4$ 까지(높이 $4$) 분포하므로 넓이 $8 \times 4 = 32$ 인 외접 사각형 안에 들어갑니다. 실제 직사각형은 기울어져 있지만, 그 넓이는 안쪽 평행사변형 $20$ 보다는 분명히 크고 외접 사각형 $32$ 와 비슷한 크기여야 합니다. $40$ 은 이 범위에 자연스럽게 들어맞고 선택지 (C) 와 일치합니다. (A) $20$ 이면 직사각형이 안쪽 평행사변형과 같은 크기가 되어 불가능하고, (E) $80$ 이면 직사각형이 외접 사각형 $32$ 를 한참 넘어버려 말이 안 됩니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 인접한 두 중점 차 벡터 $\vec{AB}=(5,0)$ 과 $\vec{BC}=(3,4)$ 가 직사각형 두 변 방향의 절반에 해당합니다. 직사각형의 실제 두 변 벡터를 서로 수직인 $\vec{u},\vec{v}$ 로 두고 $|2\vec{u}|$ 와 $|2\vec{v}|$ 를 구하면 같은 답 $40$ 이 나오지만, 벡터·내적 계산이 더 무거워서 "그림 + 더 쉬운 문제" 경로보다 어렵습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.G.A.2점 그리기로 실생활·수학 문제 표현하기 (주어진 네 중점 $(-3,0),(2,0),(5,4),(0,4)$ 을 좌표평면에 찍어 안쪽 평행사변형의 모양을 눈으로 확인하는 데 사용.)6.G.A.3주어진 좌표를 이용해 좌표평면에 다각형 그리기 (평행사변형의 밑변($5$, 가로 방향)과 높이($4$, 세로 방향)를 좌표에서 바로 읽어 넓이 $5 \times 4 = 20$ 을 계산하는 데 사용.)6.G.A.1삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 합성·분해로 구하기 (더 쉬운 $6 \times 4$ 직사각형으로 "중점 도형의 넓이는 직사각형 넓이의 절반" 임을 발견하고, $20$ 을 두 배 해서 $40$ 을 얻는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 좌표평면 위 도형 넓이 구하기만 알면 풀 수 있어요 — 점을 찍고, 안쪽 도형 넓이를 구해서 두 배 하면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 좌표평면 위 도형 넓이 구하기만 알면 풀 수 있어요 — 점을 찍고, 안쪽 도형 넓이를 구해서 두 배 하면 끝!
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