AMC 8 · 2022 · #2

학년 6 arithmetic

function-evaluationorder-of-operationsformula-substitution identify-subproblems ↑ 선수 지식: order-of-operationsexponents

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

다음 두 연산을 생각해 봅시다:
\begin{align*} a , \blacklozenge , b &= a^2 - b^2\ a , \bigstar , b &= (a - b)^2 \end{align*}
$(5 \, \blacklozenge \, 3) \, \bigstar \, 6$ 의 값은 무엇입니까?

$\textbf{(A) } {-}20 \qquad \textbf{(B) } 4 \qquad \textbf{(C) } 16 \qquad \textbf{(D) } 100 \qquad \textbf{(E) } 220$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${-}20$

(B)

(C)

(D)

100

(E)

220

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 처음 보는 두 연산이 정의되어 있어요: $a \, \blacklozenge \, b = a^2 - b^2$, $a \, \bigstar \, b = (a-b)^2$. 두 수를 받아 한 수를 내보내는 "함수" 같은 약속이에요. 이 약속에 따라 $(5 \, \blacklozenge \, 3) \, \bigstar \, 6$ 의 값을 구해야 하는데, 괄호가 있으니 안쪽 $\blacklozenge$ 부터 먼저 계산해야 합니다.

주어진 것: 규칙 1: $a \, \blacklozenge \, b = a^2 - b^2$; 규칙 2: $a \, \bigstar \, b = (a-b)^2$; 계산할 식: $(5 \, \blacklozenge \, 3) \, \bigstar \, 6$; 선택지: (A) $-20$, (B) $4$, (C) $16$, (D) $100$, (E) $220$

구하는 것: $(5 \, \blacklozenge \, 3) \, \bigstar \, 6$ 의 최종 수치

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

괄호 덕분에 식이 "안쪽 먼저, 바깥쪽 나중" 의 구조로 자연스럽게 두 단계로 나뉘기 때문에 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 딱 맞습니다 — 먼저 안쪽 $5 \, \blacklozenge \, 3$ 의 값을 구하고, 그 결과를 가져와 바깥쪽 $\bigstar \, 6$ 에 넣으면 됩니다. 낯선 기호는 "작은 요리법" 처럼 다루어, 기호 양옆의 수를 규칙 속 $a$, $b$ 자리에 대입하면 평범한 사칙연산이 됩니다. 그리고 AMC 객관식이니 도구 #3(가능성 지우기) 으로 계산값이 다섯 개 선택지 중 하나와 정확히 맞는지 마지막에 한 번 확인해, 자잘한 계산 실수에 안전장치를 둡니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 1

괄호를 기준으로 식을 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다.
(i) 안쪽 $5 \, \blacklozenge \, 3$ 의 값을 먼저 구하고, (ii) 그 결과에 $\bigstar \, 6$ 을 적용합니다.
괄호의 의미를 지키는 순서입니다.

$$(5 \, \blacklozenge \, 3) \, \bigstar \, 6 \;=\; \big[\,5 \, \blacklozenge \, 3\,\big] \, \bigstar \, 6$$

💡 괄호를 먼저 처리하는 것은 5학년 "수식에서 괄호 사용하기" 그대로이고, 덕분에 풀어야 할 작은 문제가 두 개로 정리됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 2

$\blacklozenge$ 규칙에 $a = 5$, $b = 3$ 을 대입합니다.
규칙은 $a \, \blacklozenge \, b = a^2 - b^2$ 이므로 글자 자리에 숫자를 그대로 넣어 줍니다.

$$5 \, \blacklozenge \, 3 \;=\; 5^2 - 3^2$$

💡 정의된 식의 글자 $a$, $b$ 자리에 수를 대입하는 것은 6학년 "문자가 수를 나타내는 식의 값 구하기" 와 똑같은 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 3

이제 사칙연산을 마무리합니다.
각 수를 제곱한 뒤 빼 줍니다.

$$5^2 - 3^2 \;=\; 25 - 9 \;=\; 16$$

💡 $5^2$, $3^2$ 을 계산하는 것은 6학년 "자연수 지수가 있는 수식 계산" 이고, $25 - 9$ 는 학년 이전의 평범한 뺄셈입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 4

안쪽 결과를 원래 자리에 다시 넣으면 식은 $16 \, \bigstar \, 6$ 이 됩니다.
$\bigstar$ 규칙 $a \, \bigstar \, b = (a-b)^2$ 에 $a = 16$, $b = 6$ 을 대입합니다.

$$16 \, \bigstar \, 6 \;=\; (16 - 6)^2 \;=\; 10^2 \;=\; 100$$

💡 다른 연산이지만 같은 "글자 자리에 수 대입" 동작을 한 번 더 쓰고, 마지막 제곱으로 마무리합니다.

#3 가능성 지우기 5.OA.A.1 단계 5

구한 값 $100$ 을 다섯 선택지 $-20, 4, 16, 100, 220$ 과 맞춰 봅니다.
일치하는 것은 (D) 뿐이고 나머지는 모두 지워집니다.
(함정 주의: 선택지 (C) $16$ 은 안쪽 결과 $5 \, \blacklozenge \, 3$ 그 자체로, "중간에서 멈춘 학생" 을 잡으려고 만든 거예요.)

$$100 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 계산값을 다섯 선택지에 맞춰 보는 AMC 객관식 습관이 (C) 같은 "중간 답" 함정을 막아 줍니다.

[1] #7 5.OA.A.1 괄호를 기준으로 식을 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다. (i) 안쪽 $5 \, \blacklozenge \, 3$ 의 값을 먼저 구하고, (ii)

[2] #7 6.EE.A.2 $\blacklozenge$ 규칙에 $a = 5$, $b = 3$ 을 대입합니다. 규칙은 $a \, \blacklozenge \, b = a^2

[3] #7 6.EE.A.1 이제 사칙연산을 마무리합니다. 각 수를 제곱한 뒤 빼 줍니다.

[4] #7 6.EE.A.2 안쪽 결과를 원래 자리에 다시 넣으면 식은 $16 \, \bigstar \, 6$ 이 됩니다. $\bigstar$ 규칙 $a \, \bigsta

[5] #3 5.OA.A.1 구한 값 $100$ 을 다섯 선택지 $-20, 4, 16, 100, 220$ 과 맞춰 봅니다. 일치하는 것은 (D) 뿐이고 나머지는 모두 지워집

검토

합리성 확인: 두 연산 모두 제곱이 들어가니 결과는 $0$ 이상이고 대략 $10^2$ 수준의 크기일 것이라고 예상할 수 있는데, 답이 정확히 $100 = 10^2$ 로 나와 선택지 한가운데 자리합니다 — 매우 자연스러운 값이에요. 함정 선택지들도 따져보면 안심이 됩니다: (C) $16$ 은 안쪽 결과만 답으로 적은 경우, (A) $-20$ 은 $(a-b)^2$ 대신 $a - b^2$ 로 헷갈린 경우, (E) $220$ 은 $16^2 - 6^2 = 220$ 으로 바깥쪽에 실수로 $\blacklozenge$ 를 적용한 경우와 정확히 맞아떨어집니다. 우리의 풀이 순서는 이 함정을 모두 피해 갑니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 낯선 기호를 익숙한 함수 이름으로 바꿔 봅시다 — $f(a,b) = a^2 - b^2$, $g(a,b) = (a-b)^2$ 로 두면, 문제는 결국 $g(f(5,3),\,6)$ 이라는 평범한 "함수의 합성" 입니다. $f(5,3) = 16$, $g(16,6) = 100$ 으로 같은 답 (D) 가 나오고, "한 기계의 출력을 다른 기계의 입력으로 넣는다" 라는 정의된 연산의 본질이 한눈에 보입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.OA.A.1 수식에서 괄호, 대괄호, 중괄호를 사용하고 그 값 구하기 (괄호의 의미를 지켜 안쪽 $5 \, \blacklozenge \, 3$ 을 먼저 계산하고, 마지막에 결과값을 객관식 선택지와 맞추는 데 사용.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식을 쓰고 그 값을 계산하기 (두 정의된 연산 안에서 $5^2 = 25$, $3^2 = 9$, $10^2 = 100$ 의 제곱 계산을 수행.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 값을 구하기 ($\blacklozenge$ 규칙 $a^2 - b^2$ 의 글자 $a$, $b$ 자리에 $5, 3$ 을 대입하고, $\bigstar$ 규칙 $(a-b)^2$ 에는 $16, 6$ 을 대입해 식의 값을 구하는 데 사용 — 변수에 값을 넣어 식을 계산하는 동작 그 자체.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "식의 글자 자리에 수를 대입해 계산하기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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