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AMC 8 · 2023 · #23

학년 7 geometry-2d
유형 Overlap / Complement Counting
probability-basiccombinations-basicspatial-visualization complementary-countingsystematic-enumerationeasier-related-problem ↑ 선수 지식: probability-basicfraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

3×33 \times 3 격자의 각 칸에는 아래 오른쪽에 있는 44가지 회색과 흰색 타일 중 하나를 무작위로 골라 채워 넣습니다.

이렇게 만든 무늬가 3×33 \times 3 격자 안에 있는 2×22 \times 2 부분 격자 중 하나에서 큰 회색 마름모를 이룰 확률은 얼마입니까? 아래 그림은 그러한 무늬의 한 예입니다.

(A) 11024(B) 1256(C) 164(D) 116(E) 14\textbf{(A) } \frac{1}{1024} \qquad \textbf{(B) } \frac{1}{256} \qquad \textbf{(C) } \frac{1}{64} \qquad \textbf{(D) } \frac{1}{16} \qquad \textbf{(E) } \frac{1}{4}

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{1024}$
(B)
$\frac{1}{256}$
(C)
$\frac{1}{64}$
(D)
$\frac{1}{16}$
(E)
$\frac{1}{4}$
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3 \times 3$ 격자의 $9$ 칸을 서로 독립적으로 $4$ 가지 회색-흰색 삼각형 타일 중 하나로 채웁니다(각 타일은 같은 확률). 이렇게 만든 무작위 타일링이 격자 안에 있는 네 개의 $2 \times 2$ 부분 격자(왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래) 중 어딘가에서 회색 삼각형 네 조각이 공통 꼭짓점에 모여 큰 회색 마름모를 이룰 확률을 구하는 문제입니다.

주어진 것: 격자 크기: $3 \times 3$ (총 $9$ 칸); 각 칸은 $4$ 가지 타일 방향 중 하나를 균등하게, 독립적으로 받음; $2 \times 2$ 부분 격자 안에서 "큰 회색 마름모"가 만들어지려면, 그 안의 네 타일이 모두 회색 삼각형을 공통 중심 꼭짓점 쪽으로 향해야 함; $3 \times 3$ 격자 안에는 $2 \times 2$ 부분 격자가 정확히 $4$ 곳 존재; 선택지: (A) $\tfrac{1}{1024}$, (B) $\tfrac{1}{256}$, (C) $\tfrac{1}{64}$, (D) $\tfrac{1}{16}$, (E) $\tfrac{1}{4}$

구하는 것: 무작위 타일링이 네 개의 $2 \times 2$ 부분 격자 중 적어도 한 곳에 큰 회색 마름모를 포함할 확률

이해

문제 재정리: $3 \times 3$ 격자의 $9$ 칸을 서로 독립적으로 $4$ 가지 회색-흰색 삼각형 타일 중 하나로 채웁니다(각 타일은 같은 확률). 이렇게 만든 무작위 타일링이 격자 안에 있는 네 개의 $2 \times 2$ 부분 격자(왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래) 중 어딘가에서 회색 삼각형 네 조각이 공통 꼭짓점에 모여 큰 회색 마름모를 이룰 확률을 구하는 문제입니다.

주어진 것: 격자 크기: $3 \times 3$ (총 $9$ 칸); 각 칸은 $4$ 가지 타일 방향 중 하나를 균등하게, 독립적으로 받음; $2 \times 2$ 부분 격자 안에서 "큰 회색 마름모"가 만들어지려면, 그 안의 네 타일이 모두 회색 삼각형을 공통 중심 꼭짓점 쪽으로 향해야 함; $3 \times 3$ 격자 안에는 $2 \times 2$ 부분 격자가 정확히 $4$ 곳 존재; 선택지: (A) $\tfrac{1}{1024}$, (B) $\tfrac{1}{256}$, (C) $\tfrac{1}{64}$, (D) $\tfrac{1}{16}$, (E) $\tfrac{1}{4}$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

확률 $=$ (유리한 경우의 수) $/$ (전체 경우의 수) 로 계산합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 마름모가 생길 수 있는 $2 \times 2$ 위치 $4$ 곳을 빠짐없이 정리하고 각 경우의 수를 세고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "전체 경우", "한 위치의 유리한 경우", "위치끼리 겹칠 수 있는가" 의 세 부분 문제로 나눕니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 결정적 한 수입니다 — 먼저 더 쉬운 "특정 한 곳의 $2 \times 2$ 에 마름모가 생길 확률" 을 구하면 $(1/4)^4 = 1/256$ 이고, 위치를 늘리면서 겹침만 확인하면 됩니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 1
  • 전체 타일링의 수를 셉니다.
  • $9$ 칸 각각이 $4$ 가지 타일 중 하나를 독립적으로 받으므로, 곱셈 원리에 의해 표본공간 전체 크기는 $4^9$ 입니다.
$$4^9 = 262{,}144$$

💡 독립적인 선택은 곱으로 — $4$ 가지 선택이 아홉 번이면 $4^9$, 6학년 거듭제곱 식 그대로입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 2
  • 먼저 더 쉬운 문제: "특정 한 $2 \times 2$ 부분 격자(예: 왼쪽 위) 에 마름모가 들어가는 타일링은 몇 가지일까?" 그 부분 격자 안의 $4$ 칸은 회색 삼각형이 모두 공통 중심으로 향해야 하므로 선택의 여지 없이 $1$ 가지로 고정됩니다.
  • 나머지 $9 - 4 = 5$ 칸은 자유로워서 $4^5$ 가지.
$1 \cdot 4^5 = 1024$ (특정 한 곳에 마름모가 있는 타일링 수)

💡 한 위치를 콕 집어 사건을 고정시키고 나머지를 자유롭게 두는 것은 7학년 "조직화된 셈으로 복합 사건 확률 구하기" 의 핵심입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3
  • 이제 마름모가 생길 수 있는 위치 $4$ 곳 — 왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래 — 을 빠짐없이 나열합니다.
  • 단계 $2$ 의 대칭 논증에 의해 각 위치마다 마름모를 만드는 타일링은 $4^5 = 1024$ 가지로 동일합니다.
$$4 \text{ 곳} \times 4^5 \text{ 가지/곳} \text{ (겹침 확인 전)}$$

💡 가능한 네 위치를 빠짐없이 적어 두는 것이 곧 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4
  • 한 타일링이 동시에 두 곳에 마름모를 만들 수 있는지 확인합니다.
  • 왼쪽 위와 오른쪽 위 부분 격자를 보면 가운데 위쪽 칸을 공유합니다.
  • 왼쪽 위 마름모가 되려면 그 공유 칸의 회색 삼각형이 왼쪽 위 $2 \times 2$ 의 중심을 향해 왼쪽 아래로 가야 합니다.
  • 그런데 오른쪽 위 마름모가 되려면 같은 칸의 삼각형이 오른쪽 아래로 가야 합니다.
  • 한 칸에 타일은 단 하나뿐이므로 두 사건은 동시에 일어날 수 없습니다.
  • 다른 모든 쌍의 $2 \times 2$ 도 마찬가지로 공유 칸이 적어도 하나 있고, 그 칸의 방향 요구가 충돌합니다.
  • 따라서 네 개의 마름모 사건은 서로 배반(mutually exclusive) 입니다.
$(\text{왼쪽 위 마름모}) \cap (\text{오른쪽 위 마름모}) = \varnothing,\;$ 다른 쌍들도 마찬가지

💡 공유 칸 하나가 두 방향을 동시에 요구한다는 점을 짚어 사건이 양립 불가임을 보이는 것은, 합치기 전에 반드시 거치는 7학년 점검입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 5

네 사건이 서로 배반이므로, 유리한 경우의 수는 각각의 합이고(포함-배제 보정은 필요 없음) 이를 전체로 나누면 확률이 나옵니다.

$$P = \dfrac{4 \cdot 4^5}{4^9} = \dfrac{4^6}{4^9} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 배반 사건의 경우를 더해 표본공간 크기로 나누는 것이 7학년 복합 사건 확률 공식의 그 자체입니다.

[1] #7 6.EE.A.1 전체 타일링의 수를 셉니다. $9$ 칸 각각이 $4$ 가지 타일 중 하나를 독립적으로 받으므로, 곱셈 원리에 의해 표본공간 전체 크기는 $4^9
[2] #9 7.SP.C.8 먼저 더 쉬운 문제: "특정 한 $2 \times 2$ 부분 격자(예: 왼쪽 위) 에 마름모가 들어가는 타일링은 몇 가지일까?" 그 부분 격자
[3] #2 7.SP.C.8 이제 마름모가 생길 수 있는 위치 $4$ 곳 — 왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래 — 을 빠짐없이 나열합니다. 단계 $2$ 의 대
[4] #7 7.SP.C.8 한 타일링이 동시에 두 곳에 마름모를 만들 수 있는지 확인합니다. 왼쪽 위와 오른쪽 위 부분 격자를 보면 가운데 위쪽 칸을 공유합니다. 왼쪽 위
[5] #7 7.SP.C.8 네 사건이 서로 배반이므로, 유리한 경우의 수는 각각의 합이고(포함-배제 보정은 필요 없음) 이를 전체로 나누면 확률이 나옵니다.

검토

합리성 확인: 확률을 다른 시각으로 확인: 특정 한 $2 \times 2$ 마름모는 $4$ 칸이 각각 $\tfrac{1}{4}$ 확률의 정해진 방향이어야 하므로 $(1/4)^4 = 1/256$. 위치 $4$ 곳이 서로 배반이므로 합치면 $4 \cdot (1/256) = 4/256 = 1/64$. 선택지 (C) 와 정확히 일치합니다. 값이 작긴 하지만 너무 작지도 않습니다 — "$256$ 분의 $4$" 수준의 사건이 만들어지는 합리적 크기이고, $1/256$(한 곳만 고정) 과 $1/16$(만약 네 곳이 독립이었다면 나왔을 값) 사이에 자리 잡고 있어 직관과 맞습니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기·여사건) 은 여기서는 별로 도움이 안 됩니다 — "어디에도 마름모가 없다" 를 직접 세는 게 훨씬 까다롭기 때문입니다. 그 대신 도구 #5(패턴 찾기) 와 칸별 관점이 깔끔합니다. 특정 $2 \times 2$ 부분 격자에서 네 칸 각각이 올바른 방향일 확률은 $\tfrac{1}{4}$ 이고 네 칸의 선택이 독립이므로 $P = (1/4)^4 = 1/256$. 배반인 $4$ 곳을 더해 $4/256 = 1/64$ 로 마무리합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

  • 6.EE.A.1 자연수 지수가 포함된 수치식의 작성과 계산 (표본공간 크기 $4^9$, 유리한 경우의 수 $4^5$ 와 $4^6$ 같은 거듭제곱 식을 세우고 계산하는 데 사용.)
  • 7.SP.C.8 조직화된 목록, 표, 시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (특정 한 곳의 $2 \times 2$ 마름모를 만드는 타일링 수 세기, $4$ 곳을 빠짐없이 나열하기, 공유 칸을 통해 사건의 배반성 점검하기, 그리고 $4 \cdot 4^5 / 4^9 = 1/64$ 의 복합 사건 확률로 결합하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 복합 사건 확률 — 유리한 타일 배열의 수를 세서 전체로 나누기 — 만 알면 풀 수 있어요!

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 복합 사건 확률 — 유리한 타일 배열의 수를 세서 전체로 나누기 — 만 알면 풀 수 있어요!

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