AMC 8 · 2023 · #24

• 두 그림에 정보를 표시합니다.
• 그림 1 에서 $\overline{AC}$ 에 평행한 선으로 잘린 위쪽의 색칠하지 않은 작은 삼각형의 높이는 $11$, 그림 2 에서 아래쪽 색칠하지 않은 사다리꼴의 높이가 $5$ 이므로 위쪽 색칠된 작은 삼각형의 높이는 $h - 5$ 입니다.
• 두 작은 삼각형 모두 잘린 선이 밑변과 평행하므로 동위각이 같아져 $\triangle ABC$ 와 닮음입니다.

💡 밑변에 평행한 선이 만드는 작은 위쪽 삼각형은 원래 삼각형과 닮음 — 8학년 닮음의 기본 사실입니다.

• 작은 문제 1 — 그림 1의 색칠된 부분의 넓이.
• $\triangle ABC$ 의 전체 넓이를 $A_{total}$ 이라 하면, 위쪽 작은 삼각형은 높이비가 $\tfrac{11}{h}$ 인 닮은 도형이므로 넓이비는 $\left(\tfrac{11}{h}\right)^2 = \tfrac{121}{h^2}$ 입니다.
• 색칠된 사다리꼴은 전체에서 이 부분을 뺀 나머지입니다.

💡 닮은 도형의 넓이비 $=$ 길이비의 제곱 — 8학년 닮음 성질을 그대로 적용한 결과.

• 작은 문제 2 — 그림 2의 색칠된 부분의 넓이.
• 이번에는 색칠된 부분 자체가 위쪽 작은 삼각형이고, $\triangle ABC$ 와 높이비 $\tfrac{h-5}{h}$ 인 닮음 관계이므로 넓이비는 이 값을 제곱한 것입니다.

💡 두 번째 그림에도 똑같이 "높이비 제곱 $=$ 넓이비" 를 쓰면 됩니다.

• 두 작은 문제를 합칩니다.
• 문제 조건에 따라 두 색칠 넓이가 같으므로 두 식을 등호로 잇고, $A_{total} \neq 0$ 이므로 양변을 $A_{total}$ 로 나눈 뒤 양변에 $h^2$ 을 곱해 분모를 없앱니다.

💡 "두 넓이가 같다" 는 조건을 식으로 옮기는 것은 6학년 "등식을 만족하는 값을 찾는다" 는 발상입니다.

오른쪽을 전개하면 양변의 $h^2$ 이 약분되어 처음엔 이차방정식으로 보이던 식이 사실은 일차방정식이라는 게 드러납니다.

💡 일차방정식을 푸는 것은 8학년 "한 변수의 일차방정식 풀기" 표준 그대로입니다.

양변을 $10$ 으로 나누어 $h$ 를 구한 뒤 선택지와 맞춰 봅니다.

💡 $146 \div 10 = 14.6$ 으로 소수로 표현하는 것은 5학년 소수 사칙연산입니다.