AMC 8 · 2024 · #11

학년 6 geometry-2d

area-trianglescoordinate-geometry coordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-trianglesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

$\triangle ABC$ 의 세 꼭짓점의 좌표가 $A(5,7)$ , $B(11,7)$ , $C(3,y)$ 이고, $y>7$ 입니다. $\triangle ABC$ 의 넓이가 $12$ 일 때, $y$ 의 값은 얼마입니까?

$\textbf{(A) }8\qquad\textbf{(B) }9\qquad\textbf{(C) }10\qquad\textbf{(D) }11\qquad \textbf{(E) }12$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 $ABC$ 의 꼭짓점이 $A(5,7)$, $B(11,7)$, $C(3,y)$ 로 주어져 있고, 조건은 $y > 7$ 입니다. 이 삼각형의 넓이가 $12$ 일 때, $y$ 의 값을 구하는 것이 목표입니다.

주어진 것: 꼭짓점 좌표: $A(5,7)$, $B(11,7)$, $C(3,y)$; 조건: $y > 7$ (점 C는 변 AB 보다 위에 있다); 삼각형 ABC의 넓이 = $12$; 선택지: (A) 8, (B) 9, (C) 10, (D) 11, (E) 12

구하는 것: 점 C의 y좌표 값 $y$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기

좌표가 주어진 도형 문제이므로 가장 먼저 #1 **그림 그리기** 로 점을 찍어 무엇이 보이는지 확인합니다. 그림을 보면 $A$, $B$ 의 y좌표가 같아 변 $AB$ 가 수평선이라는 사실이 한눈에 들어옵니다. 그 다음 #7 **작은 문제로 쪼개기** 로 '밑변의 길이'와 '높이'라는 두 개의 작은 질문으로 나눕니다. 마지막으로 미지수 $y$ 를 구할 때는 대수(도구 #13)에 의존하지 않고, 객관식이므로 #6 **추측하고 확인하기** 로 선택지 값을 직접 넣어 봅니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

먼저 좌표평면에 세 점을 찍습니다.
$A(5,7)$ 와 $B(11,7)$ 는 둘 다 y좌표가 $7$ 이므로 같은 가로선 위에 있습니다.
$C(3,y)$ 는 $y > 7$ 이므로 그 가로선보다 위쪽, 왼쪽에 있습니다.
그림을 그리면 변 $AB$ 가 수평선이라는 점이 한눈에 보이고, 이걸 '밑변'으로 잡으면 편하다는 계획이 자연스럽게 떠오릅니다.

$$A(5,7),\; B(11,7),\; C(3,y)\;\text{with}\;y>7$$

💡 좌표평면에 점을 찍어 도형을 시각화하는 것은 5학년의 좌표평면 단원에서 처음 배우는 기본 기능입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.8 단계 2

그림을 보고 큰 문제를 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다.
(i) 밑변 $AB$ 의 길이는?
— $A$ 와 $B$ 는 y좌표가 같으니 x좌표의 차이만 보면 됩니다: $|11 - 5| = 6$.
단위는 좌표 한 칸입니다.

$$\text{밑변} = |11 - 5| = 6$$

💡 두 점이 같은 가로선 위에 있을 때 x좌표의 차이로 거리를 구하는 것은 6학년의 좌표평면 거리 표준이 다루는 내용입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.8 단계 3

두 번째 작은 문제: (ii) 높이는?
높이는 점 $C$ 에서 밑변 $AB$ 를 품은 가로선 $y=7$ 까지의 수직 거리입니다.
두 점의 x좌표는 신경 쓸 필요가 없고 y좌표의 차이만 보면 됩니다: $|y - 7|$.
문제에서 $y > 7$ 이라고 했으니 절댓값을 벗기면 그냥 $y - 7$ 입니다.

$$\text{높이} = |y - 7| = y - 7\;(\because y>7)$$

💡 한 점에서 수평선까지의 수직 거리를 y좌표의 차이로 구하는 것 역시 같은 6학년 좌표 거리 표준에 속합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

이제 삼각형의 넓이 공식을 적용합니다: $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$.
밑변 $6$, 높이 $y - 7$, 넓이 $12$ 를 그대로 대입하면 $12 = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot (y-7) = 3(y-7)$ 가 됩니다.
즉 '어떤 수 곱하기 $3$ 이 $12$' 인 식이 만들어집니다.

$$12 = \tfrac{1}{2} \times 6 \times (y-7) = 3(y-7)$$

💡 삼각형 넓이 공식 $\tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 는 6학년 기하의 핵심 표준입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.G.A.1 단계 5

대수 도구 대신 #6 **추측하고 확인하기** 로 선택지를 차례로 넣어 봅니다.
(A) $y=8$ → $3(8-7)=3$, 너무 작음.
(C) $y=10$ → $3(10-7)=9$, 아직 작음.
(D) $y=11$ → $3(11-7)=3 \cdot 4 = 12$.
**딱 맞습니다!** (E) $y=12$ → $3(12-7)=15$, 너무 큼.
따라서 답은 $y = 11$, 선택지 **(D)**.

$$y=11 \Rightarrow 3(11-7)=12 \;\checkmark$$

💡 선택지 값을 직접 넓이 공식에 넣어 맞는지 보는 것은 같은 6학년 삼각형 넓이 표준 안에서 이루어지는 검산입니다.

[1] #1 5.G.A.2 먼저 좌표평면에 세 점을 찍습니다. $A(5,7)$ 와 $B(11,7)$ 는 둘 다 y좌표가 $7$ 이므로 같은 가로선 위에 있습니다. $C(3

[2] #7 6.NS.C.8 그림을 보고 큰 문제를 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다. (i) 밑변 $AB$ 의 길이는? — $A$ 와 $B$ 는 y좌표가 같으니 x좌표의 차이

[3] #7 6.NS.C.8 두 번째 작은 문제: (ii) 높이는? 높이는 점 $C$ 에서 밑변 $AB$ 를 품은 가로선 $y=7$ 까지의 수직 거리입니다. 두 점의 x좌표

[4] #7 6.G.A.1 이제 삼각형의 넓이 공식을 적용합니다: $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이

[5] #6 6.G.A.1 대수 도구 대신 #6 **추측하고 확인하기** 로 선택지를 차례로 넣어 봅니다. (A) $y=8$ → $3(8-7)=3$, 너무 작음. (C)

검토

합리성 확인: 그림으로 다시 확인해 보면, 밑변 $6$ 인 삼각형의 넓이가 $12$ 이 되려면 높이가 $\tfrac{2 \times 12}{6} = 4$ 여야 합니다. 점 $C$ 가 가로선 $y=7$ 보다 $4$ 만큼 위에 있어야 하므로 $y = 7 + 4 = 11$. 조건 $y > 7$ 도 만족합니다. 가장 작은 선택지 (A) $8$ 은 높이 $1$ → 넓이 $3$ 뿐이라 너무 작고, 가장 큰 (E) $12$ 는 높이 $5$ → 넓이 $15$ 라 너무 크니, 답이 그 중간의 $11$ 인 것이 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #13 (대수로 바꾸기) 으로도 풀 수 있습니다. $3(y-7) = 12$ 의 양변을 $3$ 으로 나누면 $y - 7 = 4$, 양변에 $7$ 을 더하면 $y = 11$. 결과는 같지만, 초등학생에게는 선택지를 직접 넣어 보는 추측–확인 방식이 더 직관적이고 실수를 줄여 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.A.2 좌표평면 위의 점을 그래프로 나타내어 실생활/수학 문제를 표현한다 (세 꼭짓점 $A(5,7)$, $B(11,7)$, $C(3,y)$ 를 좌표평면에 찍어 도형을 시각화하는 데 사용.)
6.NS.C.8 네 사분면에서 점을 그려 실생활 문제를 풀고, 같은 가로/세로선 위의 두 점 사이 거리를 구한다 (수평 변 $AB$ 의 길이 $|11-5|=6$ 과 점 $C$ 에서 가로선 $y=7$ 까지의 높이 $|y-7|=y-7$ 을 구하는 데 사용.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 구한다 (삼각형 넓이 공식 $\tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 를 적용해 식 $12 = 3(y-7)$ 을 세우고 추측–확인으로 $y$ 를 찾는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 삼각형 넓이 공식과 좌표평면 거리만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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