AMC 8 · 2024 · #25

• 먼저 $4\times 3$ 격자를 그리고 한 줄($3$ 자리)만 떼어 봅니다.
• 한 줄에서 빈 좌석을 옆에 붙지 않게 놓는 방법은: 빈 좌석이 $0$ 개면 $1$ 가지, $1$ 개면 자리 선택 $3$ 가지, $2$ 개면 "왼-가운데"·"가운데-오른"은 옆에 붙으니 안 되고 **"왼쪽과 오른쪽" 양 끝**의 $1$ 가지, $3$ 개면 무조건 옆에 붙으니 $0$ 가지.
• 정리하면 한 줄당 (빈 $0,1,2,3$개) $\to$ ($1,3,1,0$) 가지입니다.

💡 좌석의 "왼쪽·가운데·오른쪽" 같은 위치를 말로 짚는 것은 유치원 공간 표현 단원의 기본입니다.

• 전체 가짓수(분모)는 $12$ 자리 중에서 빈 좌석 $4$ 개를 뽑는 경우의 수입니다.
• 순서는 중요하지 않으므로 조합으로 $\binom{12}{4}$ 입니다.
• 이는 같은 분모로 부부의 가능·불가능을 모두 셀 수 있게 해주는 "공통 기준"입니다.

💡 "$12$개 중 $4$개를 고른다"는 식의 조합으로 모든 경우의 수를 세는 것은 7학년 확률 단원에서 다루는 정리된 목록·표를 이용한 셈입니다.

• 이제 "옆자리에 빈 쌍이 **하나도 없는**" 경우(여사건)를 셉니다.
• 빈 좌석 $4$ 개가 $4$ 줄에 어떻게 나뉘는지로 가능한 분포를 **빠짐없이 나열**합니다.
• 한 줄이 가질 수 있는 비인접 빈 좌석 수는 $\{0,1,2\}$ 이므로 (한 줄에 $3$ 개 이상은 무조건 인접) 합이 $4$ 인 분포는 정확히 세 가지: $(1,1,1,1)$, $(2,1,1,0)$, $(2,2,0,0)$.

💡 조건에 맞는 모든 경우를 빠뜨리지 않고 분류하는 작업은 7학년 확률에서 정리된 목록으로 경우를 세는 능력입니다.

• 세 분포 각각에 대해 1단계의 한 줄당 가짓수 $(1,3,1)$ 을 곱해 정리합니다.
• 분포 $(1,1,1,1)$: 네 줄 모두 빈 $1$ 개이므로 $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
• 분포 $(2,1,1,0)$: $4$ 줄 중 어느 줄이 $2$ 인지($4$ 가지), 그 줄의 배치($1$ 가지), 남은 $3$ 줄 중 어느 두 줄이 $1$ 인지($\binom{3}{2}=3$ 가지), 그 두 줄 각각의 배치($3 \times 3$).
• 합쳐서 $4 \times 1 \times 3 \times 3 \times 3 = 108$.
• 분포 $(2,2,0,0)$: $4$ 줄 중 $2$ 가 들어갈 줄 두 개를 고름($\binom{4}{2}=6$ 가지), 각 줄의 배치($1 \times 1$).
• 합쳐서 $6$.

💡 각 줄의 가짓수를 곱하고 분포별로 더하는 곱셈·덧셈 원리는 7학년의 정리된 목록을 이용한 복합 사건 세기와 정확히 일치합니다.

• 여사건의 확률을 구합니다.
• 분자 $195$, 분모 $\binom{12}{4}=495$.
• 두 수를 최대공약수 $15$ 로 약분하면 $\dfrac{195}{495} = \dfrac{13}{33}$ 입니다.
• 이 값이 "부부가 옆자리에 앉을 수 **없을**" 확률입니다.

💡 확률을 $\dfrac{\text{원하는 경우}}{\text{전체 경우}}$ 로 정의하는 것은 7학년의 확률 모형 만들기에서 다루는 기본 식입니다.

• 마지막으로 여사건의 법칙 $P(A) = 1 - P(\text{A의 여사건})$ 을 적용해 부부가 앉을 수 **있는** 확률을 구합니다.
• $1 - \dfrac{13}{33} = \dfrac{33-13}{33} = \dfrac{20}{33}$.
• 선택지에서 $\dfrac{20}{33}$ 은 정확히 **(C)** 이고, $\dfrac{8}{15}, \dfrac{32}{55}, \dfrac{34}{55}, \dfrac{8}{11}$ 은 모두 $\dfrac{20}{33}$ 과 같지 않으므로 도구 #3 의 "가능성 지우기"로 한 번 더 확인됩니다.

💡 공통분모가 같은 분수 $1 = \dfrac{33}{33}$ 에서 $\dfrac{13}{33}$ 을 빼는 것은 5학년의 분수 덧셈·뺄셈 단원에서 곧장 배우는 계산입니다.