AMC 8 · 2025 · #15

학년 6 countingalgebra

reflection-symmetrypaper-foldingsystems-of-equationscombinations-basic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: linear-equations-two-varsystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

케이는 $6$ 행 $6$ 열의 격자를 그립니다. 그는 단위 정사각형 중 $13$ 개를 은색으로, 나머지를 금색으로 칠합니다. 그런 다음 케이는 이 격자를 세로로 반으로 접어, 단위 정사각형끼리 서로 포개진 쌍들을 만듭니다. 금색-금색 쌍의 개수로 가능한 최솟값을 $m$ , 최댓값을 $M$ 이라고 할 때, $m+M$ 의 값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $6 \times 6$ 격자에 은색 칸이 $13$ 개, 금색 칸이 $23$ 개 있습니다. 격자를 세로로 반 접으면 $1$ 열과 $6$ 열, $2$ 열과 $5$ 열, $3$ 열과 $4$ 열이 겹쳐서 총 $18$ 개의 쌍이 만들어집니다. 각 쌍은 은-은(SS), 은-금(SG), 금-금(GG) 세 종류 중 하나이고, 금-금 쌍 개수의 최솟값 $m$ 과 최댓값 $M$ 을 구해 $m + M$ 의 값을 묻고 있습니다.

주어진 것: 격자는 $6 \times 6$, 즉 단위 정사각형이 총 $36$ 개; 이 중 $13$ 개는 은색, 나머지 $36 - 13 = 23$ 개는 금색; 세로로 반 접으면 $3 \times 6 = 18$ 개의 겹치는 쌍이 만들어진다; 각 쌍은 SS, SG, GG 중 하나이다; 선택지: (A) $12$, (B) $14$, (C) $16$, (D) $18$, (E) $20$

구하는 것: $m$ : GG 쌍 개수의 최솟값; $M$ : GG 쌍 개수의 최댓값; $m + M$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기 (여집합 세기)

은색 칸의 개수를 두 가지 방식으로 세어 $P_{SS}$, $P_{SG}$, $P_{GG}$ 를 잇는 두 식을 만들고, 두 식을 빼면 마법 같은 관계 $P_{GG} = P_{SS} + 5$ 가 나옵니다 (도구 #13). 이 한 줄의 식이 '금-금 쌍의 최대·최솟값' 문제를 '은-은 쌍의 최대·최솟값' 문제로 바꿔 줍니다 — 금-금은 $23$ 개의 금색 칸을 다뤄야 해서 머릿속에 그리기 어렵지만, 은색은 단 $13$ 개라 훨씬 다루기 쉽기 때문입니다 (도구 #16, 관점 바꿔서 여집합 세기). 마지막으로 도구 #7 로 문제를 둘로 쪼개서 $P_{SS,\min}$ 과 $P_{SS,\max}$ 를 각각 구한 뒤, 두 값을 GG 쌍 개수로 되돌리면 됩니다.

실행 — 정답: C

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.6 단계 1

기호로 정리합시다.
$P_{SS}$, $P_{SG}$, $P_{GG}$ 를 각 종류 쌍의 개수라 하면, 총 쌍의 수에서 한 식이 나오고, 은색 칸을 세는 방식 (SS 쌍은 은색 $2$ 개씩, SG 쌍은 은색 $1$ 개씩 기여) 으로 두 번째 식이 나옵니다.

$$P_{SS} + P_{SG} + P_{GG} = 18 \qquad 2P_{SS} + P_{SG} = 13$$

💡 모르는 개수를 문자로 두고 식을 세우는 것은 6학년 '문제를 풀기 위해 문자식 만들기' 그대로입니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 2

쌍 개수 식에서 은색 칸 식을 빼면 $P_{SG}$ 가 사라지고 같은 색끼리 만나는 두 쌍 개수만 남는 깔끔한 관계식이 나옵니다.

$$(P_{SS} + P_{SG} + P_{GG}) - (2P_{SS} + P_{SG}) = 18 - 13 \;\Rightarrow\; P_{GG} - P_{SS} = 5 \;\Rightarrow\; P_{GG} = P_{SS} + 5$$

💡 두 식을 더하거나 빼서 더 단순한 같은 뜻의 식으로 바꾸는 것은 6학년 식 변형의 핵심 동작입니다.

#16 관점 바꾸기 (여집합 세기) 6.EE.A.4 단계 3

목표를 바꿉니다.
모든 합법적인 색칠에 대해 $P_{GG} = P_{SS} + 5$ 이므로, $P_{GG}$ 의 최대·최솟값을 구하는 것은 $P_{SS}$ 의 최대·최솟값을 구하는 것과 똑같습니다.
금색 칸은 $23$ 개라 머릿속으로 다루기 벅차지만, 은색은 $13$ 개뿐이라 은-은 쌍을 세는 쪽이 훨씬 쉽습니다.

💡 항상 $5$ 만큼 차이 나는 두 식은 최적화 관점에서 '같은 식' 이므로, 한쪽을 최소화하면 다른 쪽도 자동으로 최소화됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 4

첫 번째 작은 문제 — $M$ (즉 $P_{GG}$ 의 최댓값) 구하기.
SS 쌍을 최대한 많이 만듭니다.
한 SS 쌍은 은색을 $2$ 개씩 쓰는데 은색은 $13$ 개뿐이므로, 최대 $\lfloor 13 / 2 \rfloor = 6$ 쌍을 만들 수 있고 은색 $1$ 개가 남아 SG 쌍을 하나 이룹니다.
실제로 $18$ 개 쌍 위치 중 $6$ 곳을 골라 양쪽 모두 은색으로 칠하고, 남은 은색 $1$ 개는 다른 위치에 두면 되므로 실현 가능합니다.

$$P_{SS,\max} = \left\lfloor \tfrac{13}{2} \right\rfloor = 6 \;\Rightarrow\; M = P_{SS,\max} + 5 = 11$$

💡 $13$ 을 둘씩 짝지으면 $6$ 쌍에 $1$ 개가 남는 것은 4학년 '나눗셈과 나머지' 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 5

두 번째 작은 문제 — $m$ (즉 $P_{GG}$ 의 최솟값) 구하기.
SS 쌍을 최대한 적게 만듭니다.
$P_{SS} \ge 0$ 이고 $P_{SS} = 0$ 도 실제로 가능한지 확인합니다.
예를 들어 은색 $13$ 개를 모두 $1$ 열에만 분산해 놓으면 ($1$ 열은 $6$ 칸뿐이라 부족하면 $2, 5$ 열에 흩어 놓아도 됨) 짝이 되는 자리에 은색이 없어 $P_{SS} = 0$ 이 됩니다.
쌍 자리가 $18$ 개나 되고 은색은 $13$ 개뿐이라 쉽게 실현됩니다.

$$P_{SS,\min} = 0 \;\Rightarrow\; m = P_{SS,\min} + 5 = 5$$

💡 $P_{SS} = 0$ 이 모든 조건을 만족하는지 확인하는 것은 6학년 '식을 참으로 만드는 값을 찾기' 의 한 사례입니다.

#13 대수로 바꾸기 4.OA.A.3 단계 6

마지막으로 $m$ 과 $M$ 을 더해 문제가 묻는 값을 구합니다.
답은 선택지 (C) 와 일치합니다.

$$m + M = 5 + 11 = 16 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 마무리는 4학년 여러 단계 문장제의 마지막 덧셈 한 줄입니다.

[1] #13 6.EE.B.6 기호로 정리합시다. $P_{SS}$, $P_{SG}$, $P_{GG}$ 를 각 종류 쌍의 개수라 하면, 총 쌍의 수에서 한 식이 나오고, 은색

[2] #13 6.EE.A.3 쌍 개수 식에서 은색 칸 식을 빼면 $P_{SG}$ 가 사라지고 같은 색끼리 만나는 두 쌍 개수만 남는 깔끔한 관계식이 나옵니다.

[3] #16 6.EE.A.4 목표를 바꿉니다. 모든 합법적인 색칠에 대해 $P_{GG} = P_{SS} + 5$ 이므로, $P_{GG}$ 의 최대·최솟값을 구하는 것은 $P

[4] #7 4.NBT.B.6 첫 번째 작은 문제 — $M$ (즉 $P_{GG}$ 의 최댓값) 구하기. SS 쌍을 최대한 많이 만듭니다. 한 SS 쌍은 은색을 $2$ 개씩 쓰

[5] #7 6.EE.B.5 두 번째 작은 문제 — $m$ (즉 $P_{GG}$ 의 최솟값) 구하기. SS 쌍을 최대한 적게 만듭니다. $P_{SS} \ge 0$ 이고 $P

[6] #13 4.OA.A.3 마지막으로 $m$ 과 $M$ 을 더해 문제가 묻는 값을 구합니다. 답은 선택지 (C) 와 일치합니다.

검토

합리성 확인: 관계식 $P_{GG} = P_{SS} + 5$ 가 양 끝에서 모순 없는지 확인합니다. $P_{SS} = 0$ 일 때: $P_{SG} = 13$, $P_{GG} = 5$, 총 $0 + 13 + 5 = 18$. ✓ $P_{SS} = 6$ 일 때: $P_{SG} = 13 - 12 = 1$, $P_{GG} = 11$, 총 $6 + 1 + 11 = 18$. ✓ 모든 값이 $0$ 이상 $18$ 이하의 정수이고 두 색칠 모두 실제 $6 \times 6$ 격자에서 만들 수 있습니다. $m + M = 16$ 은 선택지 (A)$\sim$(E) 범위 중간에 있어 '양 극단의 합' 문제 답으로 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기) 을 GG 쪽에 바로 적용해도 됩니다 — 금색 $23$ 개를 두 번 세면 $2P_{GG} + P_{SG} = 23$, 이를 $P_{SS} + P_{SG} + P_{GG} = 18$ 과 합쳐도 같은 $P_{GG} = P_{SS} + 5$ 가 나옵니다. 또는 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 $P_{SS} = 0, 1, 2, \ldots, 6$ 을 차례로 대입해 $P_{GG} = P_{SS} + 5 \in \{5, \ldots, 11\}$ 을 직접 만들고 양 끝 $5 + 11 = 16$ 으로 답을 구할 수도 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.6 문자를 사용하여 수를 나타내고 문제 해결을 위한 식 만들기 ($P_{SS}$, $P_{SG}$, $P_{GG}$ 를 미지의 쌍 개수로 두고 총 쌍 수·은색 칸 수에 대한 두 지배 방정식을 세우는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치 식 만들기 (두 방정식을 빼서 핵심 관계식 $P_{GG} = P_{SS} + 5$ 를 끌어내는 데 사용.)
6.EE.A.4 두 식이 동치인지 판별하기 ($P_{GG}$ 의 최대·최소가 $P_{SS}$ 의 최대·최소와 같다는 사실 — 두 식이 항상 $5$ 만큼만 차이가 난다는 점 — 을 인식하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 최대 네 자리 수의 나눗셈의 몫과 나머지 구하기 ($\lfloor 13 / 2 \rfloor = 6$ 과 나머지 $1$ 을 계산해 은-은 쌍의 최댓값을 구하는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식·부등식의 풀이를 '식을 참으로 만드는 값 찾기' 로 이해하기 ($P_{SS} = 0$ 이 모든 쌍 수 제약을 만족하는 실현 가능한 값임을 확인하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (양 극단의 두 값을 더해 $m + M = 5 + 11 = 16$ 의 최종 답을 만드는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 '문자식 세우고 두 식을 빼서 관계식 만들기' 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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