Sensim Math Original · sm-14

SM Original 학년 6 number-theorygeometry-2d

영감을 받은 문제: AMC 8 2024 #23

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases

gcdcoordinate-geometrypattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: gcdcoordinate-geometrymulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

베아트리스는 정사각형 모양의 작은 유리 조각을 직사각형으로 빼곡히 이어 붙여 만든 스테인드글라스 창을 복원하고 있습니다. 오늘 그녀는 이 창의 한쪽 모서리에서 대각선으로 마주 보는 반대쪽 모서리까지 일직선으로 가늘게 이어지는 금 하나를 발견했습니다. 이 금이 어느 유리 조각의 내부를 가로지를 때, 그 조각을 "금이 간 조각" 이라고 부르기로 합니다. (조각의 꼭짓점만 스치고 지나가는 경우는 세지 않습니다.)

베아트리스는 먼저 가로 $3$ 칸, 세로 $2$ 칸짜리 작은 연습용 액자에서 같은 방식으로 모서리에서 마주 보는 모서리까지 금을 그어 봅니다. 이 작은 액자에서는 정확히 $4$ 개의 조각에 금이 갑니다.

이제 그녀가 복원할 진짜 창은 가로 $3600$ 칸, 세로 $2400$ 칸 크기입니다. 모서리에서 마주 보는 모서리까지 이어지는 금 하나가 만들어 내는 "금이 간 조각" 의 개수를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

4500

(B)

4800

(C)

5400

(D)

5999

(E)

6000

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 유리 조각을 직사각형 격자 모양으로 이어 붙여 만든 스테인드글라스 창의 한쪽 모서리에서 대각선 방향으로 마주 보는 모서리까지, 하나의 곧은 금이 이어져 있습니다. 금이 어떤 조각의 **내부**를 지나갈 때 그 조각을 "금이 간 조각" 이라고 부르며 (꼭짓점만 스치는 경우는 제외), 가로 $3600$ 칸, 세로 $2400$ 칸짜리 큰 창에서 "금이 간 조각" 의 총 개수를 구하는 문제입니다. 미리 가로 $3$, 세로 $2$ 짜리 작은 액자에서는 $4$ 개라는 사실이 주어집니다.

주어진 것: 복원할 창의 크기: 가로 $3600$ 칸 $\times$ 세로 $2400$ 칸; 금은 한 모서리에서 마주 보는 모서리까지 이어지는 하나의 직선 선분; "금이 간 조각" = 금이 그 조각의 **내부**를 지나는 경우만 (꼭짓점만 스치면 제외); 연습 액자: 가로 $3$ $\times$ 세로 $2$ 짜리에서는 $4$ 개의 조각에 금이 간다; 선택지: (A) 4500, (B) 4800, (C) 5400, (D) 5999, (E) 6000

구하는 것: $3600 \times 2400$ 짜리 큰 창에서 금이 가는 조각의 총 개수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기, #5 패턴 찾기, #2 빠짐없이 나열하기

$3600 \times 2400$ 짜리 격자를 한 칸씩 세는 것은 불가능에 가깝습니다. 그래서 가장 자연스러운 첫 도구는 #9 — **큰 직사각형을 아주 작은 직사각형으로 바꿔서** ($1 \times 1$, $2 \times 1$, $2 \times 3$, $3 \times 2$, $4 \times 3$, $4 \times 2$, $\ldots$) 도구 #1 로 직접 모눈종이에 그려 "금이 간 조각" 의 수를 표로 모으는 것입니다. 그 표에서 #5 **패턴 찾기** 로 "금 간 조각 수 = 가로 $+$ 세로 $-$ (보정값)" 형태의 규칙을 찾고, 보정값이 "대각선이 격자점에서 동시에 가로·세로 격자선을 가로지른 횟수" 임을 그림으로 확인합니다. 마지막으로 #2 로 작은 경우를 빠짐없이 확인한 뒤, 발견한 규칙을 $3600 \times 2400$ 에 그대로 적용합니다. 도구 #13(대수)이나 무거운 공식 유도는 필요하지 않습니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

1단계: 큰 숫자에 매달리지 않도록 표기부터 정리합니다.
가로 $w$ 칸, 세로 $h$ 칸짜리 직사각형의 모서리 대각선이 만들어 내는 "금이 간 조각" 의 수를 $T(w,h)$ 라고 두기로 합니다.
작은 $(w,h)$ 들에 대해 $T(w,h)$ 를 차곡차곡 적은 다음, $w,h$ 사이의 규칙을 찾아 마지막에 $w = 3600,\ h = 2400$ 을 대입하면 됩니다.
연습 액자 덕분에 $T(3,2) = 4$ 라는 첫 번째 칸이 이미 채워져 있습니다.

$$T(w,h)=?\ \text{단},\ (w,h)=(3600,2400),\;\text{그리고}\;T(3,2)=4$$

💡 직사각형의 가로·세로를 좌표처럼 다루고, 그 위에 대각선을 그어 칸 수를 적는 활동은 5학년 좌표 평면 표준 그대로의 작업입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.G.A.2 단계 2

2단계: 작은 경우를 모눈종이에 직접 그려서 $T(w,h)$ 를 채워 봅니다 (도구 #9 + #1).
모서리 대각선을 긋고, 그 대각선이 내부를 지나는 칸이 몇 개인지 일일이 세면 다음 결과가 나옵니다 — $T(1,1)=1$, $T(2,1)=2$, $T(2,3)=4$, $T(3,2)=4$ (연습 액자와 일치), $T(4,3)=6$, $T(3,4)=6$, $T(5,3)=7$, $T(4,2)=4$, $T(6,4)=8$, $T(2,2)=2$.
가로·세로를 바꿔도 결과는 같다는 점($T(w,h)=T(h,w)$)이 계산 검산 역할을 합니다.

$$T(1,1)=1,\;T(2,1)=2,\;T(2,3)=4,\;T(4,3)=6,\;T(5,3)=7,\;T(4,2)=4,\;T(6,4)=8,\;T(2,2)=2$$

💡 작은 직사각형을 그리고 대각선을 그어 칸을 세는 일은 5학년 좌표 평면 학습 그대로의 손작업입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

3단계: 도구 #5 로 표에서 규칙을 찾습니다.
먼저 "$T = w + h$" 라고 추측하면 $T(2,1) = 3$ 이 되어 실제 $2$ 와 어긋납니다.
다음으로 "$T = w + h - 1$" 을 시험해 보면 $(2,3),(5,3),(4,3),(2,1),(1,1)$ 처럼 가로·세로에 공통된 약수가 $1$ 밖에 없을 때는 잘 맞습니다.
그런데 $(4,2)$ 는 $4 + 2 - 1 = 5$ 인데 실제는 $4$, $(6,4)$ 는 $6 + 4 - 1 = 9$ 인데 실제는 $8$, $(2,2)$ 는 $2 + 2 - 1 = 3$ 인데 실제는 $2$ 로, 모두 $1$ 만큼 더 빼야 맞습니다.
"공통 약수가 있을 때 한 번씩 더 빠진다" 는 신호입니다.

$$(4,2):4+2-1=5\neq 4;\;(6,4):6+4-1=9\neq 8;\;(2,2):2+2-1=3\neq 2$$

💡 여러 경우를 표로 늘어놓고 "이 규칙이 어디서 빗나가나?"를 살피는 것은 4학년 "주어진 규칙에 맞는 패턴 찾기" 활동입니다.

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 4

4단계: 도구 #1 로 "왜 추가로 한 번씩 더 빼야 하는지" 를 그림으로 확인합니다.
$(4,2)$ 의 대각선을 그려 보면 내부의 격자점 $(2,1)$ 을 정확히 통과합니다.
$(6,4)$ 의 대각선은 직선 $y = \tfrac{2}{3}x$ 가 되어 내부의 격자점 $(3,2)$ 를 지납니다.
$(2,2)$ 의 대각선은 내부의 격자점 $(1,1)$ 을 지납니다.
대각선이 내부의 격자점에 닿는 순간에는 가로 격자선과 세로 격자선을 **동시에** 가로지르므로, 새로운 칸이 한 개 덜 늘어납니다.
그래서 추가로 한 번씩 더 빼야 했던 것입니다.
보정된 규칙은 $T(w,h) = w + h - g$ 이고, 여기서 $g - 1$ 은 "내부 격자점에 닿은 횟수" 이며 추가의 $-1$ 은 시작 칸의 몫입니다.
정리하면 $g$ 는 "대각선 전체가 닿는 격자점 수 $-\ 1$" 입니다.

$$(4,2):\text{격자점 }(2,1)\text{ 통과} \Rightarrow 4+2-2=4 ✓;\;(6,4):\text{격자점 }(3,2)\text{ 통과} \Rightarrow 6+4-2=8 ✓$$

💡 그려 놓은 대각선 위의 내부 격자점 좌표를 직접 읽는 일은 5학년 좌표 평면에서 점을 찾는 기본 작업과 같습니다.

#5 패턴 찾기 6.NS.B.4 단계 5

5단계: $g$ 의 정체를 수론적으로 밝힙니다.
$(0,0)$ 에서 $(w,h)$ 로 가는 대각선 위의 점은 $0 \le t \le 1$ 일 때 $(tw, th)$ 모양이며, 두 좌표가 모두 정수가 되는 $t$ 는 $t = 0,\ 1/d,\ 2/d,\ \ldots,\ d/d = 1$ 꼴입니다 — 여기서 $d$ 는 $w$ 와 $h$ 의 **최대공약수** $\gcd(w,h)$ 입니다.
즉 대각선 위에는 끝점을 포함해 $d + 1$ 개의 격자점이 놓이고, 따라서 $g = d = \gcd(w,h)$ 가 되어 규칙은 $$T(w,h) = w + h - \gcd(w,h)$$ 로 깔끔하게 정리됩니다.
표로 다시 검산하면 $T(6,4) = 10 - 2 = 8$ ✓, $T(4,2) = 6 - 2 = 4$ ✓, $T(2,2) = 4 - 2 = 2$ ✓, $T(5,3) = 8 - 1 = 7$ ✓, 그리고 연습 액자 $T(3,2) = 5 - 1 = 4$ ✓ 까지 모두 맞습니다.

$$T(w,h) = w + h - \gcd(w,h)$$

💡 대각선 위 격자점 간격이 두 변 길이의 "공통 척도" 와 같다는 사실은 6학년 최대공약수 표준의 직접적인 해석입니다.

#5 패턴 찾기 6.NS.B.4 단계 6

6단계: 마지막으로 $w = 3600,\ h = 2400$ 에 대입합니다.
$\gcd(3600, 2400)$ 을 구해야 하는데, $3600 = 1200 \times 3$, $2400 = 1200 \times 2$ 이고 $\gcd(3, 2) = 1$ 이므로 $\gcd(3600, 2400) = 1200 \times 1 = 1200$ 입니다.
규칙에 대입하면 $T(3600, 2400) = 3600 + 2400 - 1200 = 4800$.
따라서 금이 가는 조각의 수는 $\mathbf{4800}$ 개로, 선택지 (B) 와 일치합니다.

$$T(3600, 2400) = 3600 + 2400 - 1200 = 4800 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $3600$ 과 $2400$ 의 공통된 $1200$ 을 묶어 내고 $\gcd(3,2) = 1$ 을 이용하는 과정은 6학년 GCD 계산 그대로입니다.

[1] #1 5.G.A.2 1단계: 큰 숫자에 매달리지 않도록 표기부터 정리합니다. 가로 $w$ 칸, 세로 $h$ 칸짜리 직사각형의 모서리 대각선이 만들어 내는 "금이 간

[2] #9 5.G.A.2 2단계: 작은 경우를 모눈종이에 직접 그려서 $T(w,h)$ 를 채워 봅니다 (도구 #9 + #1). 모서리 대각선을 긋고, 그 대각선이 내부를

[3] #5 4.OA.C.5 3단계: 도구 #5 로 표에서 규칙을 찾습니다. 먼저 "$T = w + h$" 라고 추측하면 $T(2,1) = 3$ 이 되어 실제 $2$ 와 어

[4] #1 5.G.A.2 4단계: 도구 #1 로 "왜 추가로 한 번씩 더 빼야 하는지" 를 그림으로 확인합니다. $(4,2)$ 의 대각선을 그려 보면 내부의 격자점 $(

[5] #5 6.NS.B.4 5단계: $g$ 의 정체를 수론적으로 밝힙니다. $(0,0)$ 에서 $(w,h)$ 로 가는 대각선 위의 점은 $0 \le t \le 1$ 일 때

[6] #5 6.NS.B.4 6단계: 마지막으로 $w = 3600,\ h = 2400$ 에 대입합니다. $\gcd(3600, 2400)$ 을 구해야 하는데, $3600 =

검토

합리성 확인: 발견한 규칙 $T(w,h) = w + h - \gcd(w,h)$ 가 처음에 주어진 연습 액자 값 $T(3,2) = 4$ 와 일치하는지부터 확인합니다 — $3 + 2 - \gcd(3,2) = 5 - 1 = 4$ ✓. 크기 감각으로도, 보정을 전혀 안 하면 $3600 + 2400 = 6000$ 이고 보정이 최대치 $\gcd \le \min(3600, 2400) = 2400$ 까지 가도 $3600$ 보다는 작아지지 않으므로 답은 $[3600, 6000]$ 구간에 들어가야 합니다. $4800$ 은 그 구간 안에 자연스럽게 자리합니다. 함정 선택지도 명확합니다 — (E) $6000$ 은 보정을 잊은 경우, (D) $5999$ 는 보정을 $1$ 로만 잡은 경우(서로소인 줄 착각), (C) $5400$ 은 $\gcd$ 를 $600$ 으로 잘못 본 경우입니다.

대안 접근: 도구 #1 만 사용해서 "닮음" 으로도 풀 수 있습니다. 작은 $3 \times 2$ 직사각형을 그려 대각선을 긋고 직접 세면 $T(3, 2) = 4$. 큰 $3600 \times 2400$ 창은 그 도형 전체를 $1200$ 배 확대한 것과 같은 모양이므로, 작은 칸 하나가 $1200 \times 1200$ 짜리 큰 블록이 되고 그 블록 안에서 확대된 대각선은 또다시 작은 $1 \times 1$ 짜리 칸 $1200$ 개를 가로지릅니다. 따라서 전체 "금이 간 조각" 의 수는 $4 \times 1200 = 4800$ 으로 같은 답에 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수나 모양 패턴을 생성한다 (작은 직사각형에서 얻은 $T(w,h)$ 값들을 표로 모은 뒤, "$w + h - ?$" 형태의 후보 규칙을 시험하고 어디서 깨지는지 짚어 내는 데 사용.)
5.G.A.2 좌표 평면에 점을 그려 실생활 및 수학적 문제를 표현한다 (작은 직사각형과 모서리 대각선을 좌표 평면 위에 그리고, 대각선이 지나는 내부 격자점의 좌표를 직접 읽는 데 사용.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 구한다 (대각선 위 격자점 개수를 결정하는 보정값 $\gcd(3600, 2400) = 1200$ 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 최대공약수(GCD)만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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