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Sensim Math Original · sm-5

SM Original 학년 4 geometry-2d
영감을 받은 문제: AMC 8 2024 #3
유형 Compound Area by Decomposition / Difference
area-rectanglesarea-differenceidentify-subproblems area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesmulti-digit-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
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문제

어느 마을 텃밭은 가로(1515 m) × 세로(1111 m)의 직사각형 모양입니다. 이 텃밭의 남서쪽 모서리에는 가로 44 m, 세로 33 m의 직사각형 모양의 농기구 창고가 모서리에 딱 맞게 놓여 있습니다. 그리고 이 창고와 겹치지 않게, 텃밭 안쪽에 가로 99 m, 세로 22 m의 직사각형 모양으로 자갈을 깐 길이 따로 나 있습니다. 텃밭에서 창고와 자갈길이 차지하지 않은 나머지 땅에는 채소를 심으려고 합니다.

채소를 심을 수 있는 땅의 넓이는 몇 제곱미터인지 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
126
(B)
132
(C)
135
(D)
147
(E)
153
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 가로 $15$ m, 세로 $11$ m인 직사각형 텃밭의 한 모서리에 가로 $4$ m, 세로 $3$ m의 직사각형 농기구 창고가 놓여 있고, 그 창고와 겹치지 않게 가로 $9$ m, 세로 $2$ m의 직사각형 자갈길이 텃밭 안쪽 어딘가에 따로 나 있습니다. 텃밭에서 창고와 자갈길이 차지하는 부분을 제외한 나머지(채소를 심을 수 있는 땅)의 넓이를 제곱미터 단위로 구하는 문제입니다.

주어진 것: 텃밭(바깥 직사각형): 가로 $15$ m, 세로 $11$ m; 농기구 창고: 가로 $4$ m, 세로 $3$ m, 텃밭의 한 모서리에 위치; 자갈길: 가로 $9$ m, 세로 $2$ m, 텃밭 안쪽에 위치; 창고와 자갈길은 서로 겹치지 않음; 답 후보: (A) $126$, (B) $132$, (C) $135$, (D) $147$, (E) $153$

구하는 것: 채소를 심을 수 있는 땅의 넓이 (제곱미터): 텃밭 $-$ 창고 $-$ 자갈길

이해

문제 재정리: 가로 $15$ m, 세로 $11$ m인 직사각형 텃밭의 한 모서리에 가로 $4$ m, 세로 $3$ m의 직사각형 농기구 창고가 놓여 있고, 그 창고와 겹치지 않게 가로 $9$ m, 세로 $2$ m의 직사각형 자갈길이 텃밭 안쪽 어딘가에 따로 나 있습니다. 텃밭에서 창고와 자갈길이 차지하는 부분을 제외한 나머지(채소를 심을 수 있는 땅)의 넓이를 제곱미터 단위로 구하는 문제입니다.

주어진 것: 텃밭(바깥 직사각형): 가로 $15$ m, 세로 $11$ m; 농기구 창고: 가로 $4$ m, 세로 $3$ m, 텃밭의 한 모서리에 위치; 자갈길: 가로 $9$ m, 세로 $2$ m, 텃밭 안쪽에 위치; 창고와 자갈길은 서로 겹치지 않음; 답 후보: (A) $126$, (B) $132$, (C) $135$, (D) $147$, (E) $153$

계획

주요 도구: #7 Identify Subproblems (작은 문제로 쪼개기)

보조 도구: #1 Draw a Diagram (그림 그리기), #3 Eliminate Possibilities (가능성 지우기)

채소를 심을 땅의 모양은 단순하지 않지만, 빼낼 부분(창고와 자갈길)은 둘 다 직사각형입니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 써서 "텃밭 넓이, 창고 넓이, 자갈길 넓이"를 따로따로 한 줄씩 구한 뒤 빼는 것이 가장 자연스럽습니다. 도구 #1(그림 그리기)로 텃밭 한 모서리에 창고를 두고 자갈길을 따로 그려 두 직사각형이 겹치지 않음을 확인하면, 그냥 두 번 빼는 것만으로 충분함을 알 수 있습니다(겹친 부분을 다시 더할 필요가 없음). 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 계산 결과를 (A)~(E)와 비교하고, "하나만 빼고 잊은" 함정 답(창고를 잊은 경우 = $147$, 자갈길을 잊은 경우 = $153$)을 가려냅니다.

실행 — 정답: C

#1 Draw a Diagram (그림 그리기) 2.G.A.1 단계 1
  • 상황을 간단히 머릿속에 그려 봅니다: $15 \times 11$짜리 큰 직사각형이 텃밭, 그 한 모서리에 딱 붙은 작은 $4 \times 3$ 직사각형이 창고, 그리고 그 창고와 떨어진 곳에 떠 있는 $9 \times 2$짜리 가늘고 긴 직사각형이 자갈길입니다.
  • 문제에서 창고와 자갈길이 "겹치지 않는다"고 했으므로, 채소를 심을 땅은 텃밭에서 이 두 직사각형을 그냥 "지운" 부분입니다.
$$\text{채소 땅} = (\text{텃밭}) - (\text{창고}) - (\text{자갈길})$$

💡 주어진 세 모양이 모두 직사각형임을 알아보는 것은 2학년 "속성에 맞는 도형 그리기" 수준의 일입니다.

#7 Identify Subproblems (작은 문제로 쪼개기) 4.MD.A.3 단계 2
  • 직사각형의 넓이 = 가로 $\times$ 세로 공식을 텃밭에 적용합니다.
  • 가로 $15$ m, 세로 $11$ m이므로 $15 \times 11 = 165$ 제곱미터입니다.
$$\text{텃밭 넓이} = 15 \times 11 = 165\ \text{m}^2$$

💡 실생활 직사각형(텃밭)에 "가로 × 세로" 공식을 적용하는 것은 4학년 넓이 공식 활용 단계 그대로입니다.

#7 Identify Subproblems (작은 문제로 쪼개기) 3.MD.C.7 단계 3
  • 같은 공식을 창고에도 적용합니다.
  • 가로 $4$ m, 세로 $3$ m이므로 $4 \times 3 = 12$ 제곱미터입니다.
$$\text{창고 넓이} = 4 \times 3 = 12\ \text{m}^2$$

💡 $4 \times 3$ 직사각형의 넓이는 3학년 넓이 단원에서 가장 처음 다루는 "단위 정사각형 12개" 그림 그대로입니다.

#7 Identify Subproblems (작은 문제로 쪼개기) 3.MD.C.7 단계 4
  • 자갈길에도 같은 공식을 씁니다.
  • 가로 $9$ m, 세로 $2$ m이므로 $9 \times 2 = 18$ 제곱미터입니다.
$$\text{자갈길 넓이} = 9 \times 2 = 18\ \text{m}^2$$

💡 같은 3학년 "가로 × 세로" 공식, 변의 길이만 다른 경우입니다.

#7 Identify Subproblems (작은 문제로 쪼개기) 3.NBT.A.2 단계 5
  • 텃밭 넓이에서 두 내부 직사각형을 빼면 채소 땅의 넓이가 됩니다.
  • 한 번에 하나씩 빼도 되고, 두 내부 직사각형을 먼저 더한 뒤 한 번에 빼도 됩니다: $12 + 18 = 30$, 그러고 $165 - 30 = 135$.
  • 어떤 순서로 해도 결과는 같습니다.
$$\text{채소 땅} = 165 - 12 - 18 = 165 - 30 = 135\ \text{m}^2$$

💡 $1000$ 이하 자연수의 덧셈·뺄셈은 3학년 수준에서 능숙하게 다루는 계산입니다.

#3 Eliminate Possibilities (가능성 지우기) 3.NBT.A.2 단계 6
  • 답 후보 $126, 132, 135, 147, 153$과 비교합니다.
  • 우리 답 $135$는 정확히 **(C)** 입니다.
  • 함정 답도 확인해 두면 좋습니다: 자갈길을 빼지 않으면 $165 - 12 = 153$ — 이게 (E).
  • 창고를 빼지 않으면 $165 - 18 = 147$ — 이게 (D).
  • 즉 (D)와 (E)는 "둘 중 하나만 잊은" 학생을 노린 함정이고, 두 개를 모두 뺀 답은 (C)뿐입니다.
$$135 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $135$를 세 자리 후보 다섯 개와 비교하는 일은 3학년 덧셈·뺄셈 감각이면 충분합니다.

[1] #1 2.G.A.1 상황을 간단히 머릿속에 그려 봅니다: $15 \times 11$짜리 큰 직사각형이 텃밭, 그 한 모서리에 딱 붙은 작은 $4 \times 3$
[2] #7 4.MD.A.3 직사각형의 넓이 = 가로 $\times$ 세로 공식을 텃밭에 적용합니다. 가로 $15$ m, 세로 $11$ m이므로 $15 \times 11 =
[3] #7 3.MD.C.7 같은 공식을 창고에도 적용합니다. 가로 $4$ m, 세로 $3$ m이므로 $4 \times 3 = 12$ 제곱미터입니다.
[4] #7 3.MD.C.7 자갈길에도 같은 공식을 씁니다. 가로 $9$ m, 세로 $2$ m이므로 $9 \times 2 = 18$ 제곱미터입니다.
[5] #7 3.NBT.A.2 텃밭 넓이에서 두 내부 직사각형을 빼면 채소 땅의 넓이가 됩니다. 한 번에 하나씩 빼도 되고, 두 내부 직사각형을 먼저 더한 뒤 한 번에 빼도
[6] #3 3.NBT.A.2 답 후보 $126, 132, 135, 147, 153$과 비교합니다. 우리 답 $135$는 정확히 **(C)** 입니다. 함정 답도 확인해 두면

검토

합리성 확인: 크기 감각으로 점검해 봅니다: 텃밭 전체가 $165$ m$^2$이고, 빼낸 두 직사각형(창고 + 자갈길)이 합쳐서 $30$ m$^2$로 텃밭의 약 $18\%$ 정도이므로, 채소 땅은 텃밭의 $80\%$가 조금 넘는 $130$~$140$ m$^2$ 사이에 있어야 자연스럽습니다. $135$ m$^2$가 정확히 그 범위 안에 들어옵니다. 거꾸로 더해 보면 $135 + 12 + 18 = 165$로 텃밭 전체 넓이와 일치하므로, 세 부분이 텃밭을 정확히 빠짐없이 나누어 가집니다. 단위도 처음부터 끝까지 제곱미터로 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 $A = \ell w - a_1 - a_2$ ($\ell = 15,\, w = 11,\, a_1 = 4 \cdot 3,\, a_2 = 9 \cdot 2$)를 세워 계산해도 같은 $135$가 나옵니다. 그러나 식까지 세우는 것은 이 문제에는 과한 무게이고, "세 직사각형의 넓이를 각각 구해 빼기"라는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 경로가 3~4학년 수준을 유지해 "적은 학년 지식으로 풀린다"는 제품 메시지에 잘 맞습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 2.G.A.1 Recognize and draw shapes having specified attributes (e.g., rectangles) (텃밭, 창고, 자갈길을 모두 "직사각형"이라는 같은 도형으로 알아보고, 채소 땅이 텃밭에서 두 직사각형을 빼낸 나머지임을 그림으로 정리하는 데 사용.)
  • 3.MD.C.7 Relate area to multiplication and addition operations (area of a rectangle = length × width; area of composite figures by adding/subtracting parts) (창고($4 \times 3 = 12$)와 자갈길($9 \times 2 = 18$)의 넓이를 "가로 × 세로"로 구한 뒤, 합성 도형의 넓이를 "빼기"로 다루어 채소 땅을 구하는 데 사용.)
  • 3.NBT.A.2 Fluently add and subtract within 1000 ($12 + 18 = 30$, $165 - 30 = 135$의 덧셈·뺄셈과, 결과를 답 후보와 비교하는 데 사용.)
  • 4.MD.A.3 Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems (실생활 직사각형인 $15 \times 11$ 텃밭에 "가로 × 세로" 공식을 적용해 전체 넓이 $165$ m$^2$를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 직사각형 넓이(가로 × 세로)와 간단한 뺄셈만 알면 풀 수 있어요!

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 직사각형 넓이(가로 × 세로)와 간단한 뺄셈만 알면 풀 수 있어요!

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