AMC 8 · 2019 · #14

학년 4 number-theorylogic

modular-arithmeticsequences-arithmeticpattern-recognition pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: modular-arithmeticsequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

이사벨라는 "피트의 달콤한 간식 가게"에서 아이스크림 콘으로 바꿀 수 있는 쿠폰을 $6$ 장 가지고 있습니다. 쿠폰을 오래 쓰기 위해, 그녀는 쿠폰을 모두 사용할 때까지 $10$ 일에 한 장씩 사용하기로 합니다. 그녀는 그 가게가 일요일마다 쉰다는 것을 알고 있는데, 달력에 쿠폰을 사용할 $6$ 개의 날짜를 동그라미 쳐 보니 어느 날짜도 일요일에 걸리지 않았습니다. 이사벨라가 첫 번째 쿠폰을 사용한 날은 무슨 요일입니까?

$\textbf{(A) }\text{Monday}\qquad\textbf{(B) }\text{Tuesday}\qquad\textbf{(C) }\text{Wednesday}\qquad\textbf{(D) }\text{Thursday}\qquad\textbf{(E) }\text{Friday}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{Monday}$

(B)

$text{Tuesday}$

(C)

$text{Wednesday}$

(D)

$text{Thursday}$

(E)

$text{Friday}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 이사벨라는 무료 아이스크림 쿠폰 $6$ 장을 갖고 있고, 다 쓸 때까지 $10$ 일에 한 장씩 사용하기로 합니다. 가게는 일요일마다 쉬는데, 달력에 $6$ 번의 사용 날짜를 모두 동그라미 쳐 보니 그 중 어느 날도 일요일과 겹치지 않았습니다. 그렇다면 첫 번째 쿠폰은 무슨 요일에 썼을까요?

주어진 것: 쿠폰은 모두 $6$ 장; 쿠폰은 $10$ 일 간격으로 사용 (첫 사용일 기준으로 $0, 10, 20, 30, 40, 50$ 일째 사용); 가게는 일요일 휴무; $6$ 번의 사용 날짜 중 일요일은 하나도 없음; 선택지: (A) 월, (B) 화, (C) 수, (D) 목, (E) 금

구하는 것: 이사벨라가 첫 번째 쿠폰을 사용한 요일

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

요일은 $7$ 일 주기로 돌아가니까 $10$ 일을 건너뛰는 건 결국 $10 - 7 = 3$ 일씩 앞으로 가는 것과 같습니다. 이 "한 번 건너뛸 때마다 $+3$" 규칙을 알아채는 게 도구 #5(패턴 찾기) 의 역할입니다. 다음으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 $6$ 번의 사용 요일을 차례대로 정리하면 어떤 요일이 들어가고 어떤 요일이 빠지는지 한눈에 보입니다. 마지막으로 객관식이고 "일요일 없음" 조건이 다섯 선택지 중 네 개를 깔끔하게 걸러 주므로 도구 #3(가능성 지우기) 으로 마무리합니다.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 1

$10$ 일을 건너뛸 때 요일이 며칠 밀리는지 먼저 알아봅시다.
일주일 전체($7$ 일)는 요일을 바꾸지 않으므로 "남는 일수" 만 진짜로 요일을 옮깁니다.
$10$ 을 $7$ 로 나눠서 그 나머지를 구합니다.

$10 \div 7 = 1 \text{ 나머지 } 3$ → $10$ 일을 건너뛸 때마다 요일은 $3$ 일씩 앞으로 이동.

💡 4학년 나눗셈의 나머지로부터, 요일이 매번 $3$ 일씩 밀린다는 사실을 바로 얻습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 2

도구 #2 로 $6$ 번의 사용 요일을 순서대로 적습니다.
첫 요일을 $D$ 라 두고, 한 번 건너뛸 때마다 $3$ 일을 더하되, 한 주($7$ 일)를 넘으면 $7$ 을 빼서 같은 주 안의 요일 번호로 되돌립니다.

1번: $D$ \;\; 2번: $D+3$ \;\; 3번: $D+6$ \;\; 4번: $D+9 \to D+2$ \;\; 5번: $D+12 \to D+5$ \;\; 6번: $D+15 \to D+1$

💡 "$+3$ 후 $7$ 을 넘으면 되돌리기" 라는 규칙으로 수의 패턴을 만들어 내는 건 4학년 패턴 만들기 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 3

$6$ 개의 "$D$ 에 더하는 값" 을 작은 순서로 모으면 $\{D+0,\; D+1,\; D+2,\; D+3,\; D+5,\; D+6\}$ 입니다.
가능한 모든 요일 번호 $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ 중에서 단 하나, $D+4$ 만 빠져 있습니다.

빠진 값 $= D + 4$

💡 $\{0,1,2,3,5,6\}$ 이 전체 $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ 에서 $4$ 만 빠진 모양임을 알아보는 건 3학년 산술 패턴 관찰입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

"일요일 없음" 조건을 적용합니다.
$6$ 번의 사용일이 $7$ 요일 중 $6$ 개를 채우고 하나만 빠뜨리는데, 그 빠진 요일이 바로 일요일이어야 합니다.
즉 $D + 4$ 가 일요일이라는 뜻이므로, $D$ 는 일요일에서 $4$ 일 거꾸로 간 요일입니다.
일요일에서 거꾸로 세면 토 → 금 → 목 → 수.
따라서 $D = $ 수요일.

일요일 $-$ $4$ 일 $=$ 수요일 $\;\Longrightarrow\; D = $ 수요일

💡 일요일에서 요일 $4$ 칸을 거꾸로 세는 건 4학년 패턴 따라가기 수준이고, 대수 없이도 충분합니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.C.5 단계 5

도구 #3 으로 나머지 선택지를 지웁시다.
(A) 월요일 $\to$ 빠지는 요일은 금.
(B) 화요일 $\to$ 빠지는 요일은 토.
(D) 목요일 $\to$ 빠지는 요일은 월.
(E) 금요일 $\to$ 빠지는 요일은 화.
빠지는 요일을 일요일로 만드는 건 오직 (C) 수요일뿐이라 "일요일 없음" 조건과 정확히 맞아떨어집니다.

$$\textbf{(C) 수요일}$$

💡 각 선택지를 규칙에 직접 대입해 확인하는 건 객관식 문제에서 가장 안전한 검산 습관입니다.

[1] #5 4.NBT.B.6 $10$ 일을 건너뛸 때 요일이 며칠 밀리는지 먼저 알아봅시다. 일주일 전체($7$ 일)는 요일을 바꾸지 않으므로 "남는 일수" 만 진짜로 요일

[2] #2 4.OA.C.5 도구 #2 로 $6$ 번의 사용 요일을 순서대로 적습니다. 첫 요일을 $D$ 라 두고, 한 번 건너뛸 때마다 $3$ 일을 더하되, 한 주($7$

[3] #5 3.OA.D.9 $6$ 개의 "$D$ 에 더하는 값" 을 작은 순서로 모으면 $\{D+0,\; D+1,\; D+2,\; D+3,\; D+5,\; D+6\}$ 입

[4] #5 4.OA.C.5 "일요일 없음" 조건을 적용합니다. $6$ 번의 사용일이 $7$ 요일 중 $6$ 개를 채우고 하나만 빠뜨리는데, 그 빠진 요일이 바로 일요일이어

[5] #3 4.OA.C.5 도구 #3 으로 나머지 선택지를 지웁시다. (A) 월요일 $\to$ 빠지는 요일은 금. (B) 화요일 $\to$ 빠지는 요일은 토. (D) 목요

검토

합리성 확인: 수요일에서 출발해 직접 따라가 봅니다. 수 $\to$ 토 $\to$ 화 $\to$ 금 $\to$ 월 $\to$ 목. $\{$수, 토, 화, 금, 월, 목$\}$ 으로 정확히 서로 다른 $6$ 요일이고, 빠진 요일은 일요일 하나뿐이라 문제의 "일요일 없음" 조건과 딱 들어맞습니다. 답이 수요일임이 확인됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 하나씩 시험할 수도 있습니다. 다섯 시작 요일 각각에 대해 $+3$ 씩 $6$ 번 더한 요일 목록을 만들어 일요일이 들어 있는지 보면, 수요일에서 시작했을 때만 일요일이 한 번도 등장하지 않습니다. "빠진 요일" 논리가 어려울 때 쓰기 좋은 든든한 우회로입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.D.9 산술 패턴을 파악하고 연산의 성질로 설명하기 ($6$ 번의 "$D$ 에 더한 값" 의 집합 $\{0,1,2,3,5,6\}$ 이 전체 $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ 에서 $4$ 하나만 빠진 형태임을 알아보는 데 사용.)
4.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수의 몫과 나머지 구하기 ($10 \div 7$ 의 나머지 $3$ 을 구해 "$10$ 일마다 요일이 $3$ 일씩 밀린다" 는 핵심 규칙을 얻는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 모양의 패턴 만들기 ($+3$ 을 반복하고 $7$ 을 넘으면 되돌리는 규칙으로 $6$ 번의 사용 요일 목록을 만들고, 일요일에서 거꾸로 $4$ 일을 세어 첫 요일을 찾는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "나눗셈의 나머지" 와 "규칙대로 수 만들기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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