Sensim Math Original · sm-6

SM Original 학년 4 number-theoryarithmetic

영감을 받은 문제: AMC 8 2024 #4

perfect-squaresfactorsprime-factorizationsystematic-enumeration systematic-enumerationcaseworkdigit-constraints ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfactorsperfect-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

목공방 주인이 둥근 나무 원판 아홉 개를 가지고 있습니다. 원판에는 각각 $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 의 정수가 하나씩 새겨져 있습니다. 주인은 진열대에 올린 원판들의 숫자를 모두 곱한 값이 완전제곱수가 되도록 원판들을 진열하려고 합니다. 이를 위해 원판 하나만을 따로 빼 두고 나머지 여덟 개를 진열해야 합니다. 따로 빼 둔 원판에 새겨진 숫자는 무엇일까요?

$\textbf{(A) } 4 \qquad \textbf{(B) } 5 \qquad \textbf{(C) } 6 \qquad \textbf{(D) } 7 \qquad \textbf{(E) } 8$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 목공방 주인에게는 $2$부터 $10$까지의 정수가 새겨진 나무 원판이 아홉 개 있습니다. 이 중 정확히 한 개만 따로 빼고, 나머지 여덟 개의 숫자를 모두 곱한 값이 **완전제곱수**가 되어야 합니다. 선택지 $\{4, 5, 6, 7, 8\}$ 중에서 따로 빼 둔 원판에 새겨진 숫자가 어느 것인지 구해야 합니다.

주어진 것: 원판 아홉 개에는 각각 $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 의 정수가 새겨져 있다; 원판 한 개만을 따로 빼 두고 나머지 여덟 개를 진열한다; 진열된 여덟 개의 숫자를 모두 곱한 값이 완전제곱수여야 한다; 다섯 개의 후보 숫자: (A) 4, (B) 5, (C) 6, (D) 7, (E) 8

구하는 것: $2$부터 $10$까지의 정수 중, 빼냈을 때 나머지 여덟 수의 곱이 완전제곱수가 되도록 만드는 단 하나의 정수 $r$

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

후보가 다섯 개뿐이므로 각 후보를 차례로 시험해 보면 됩니다(도구 #6). 시험을 빠르게 하기 위해, 먼저 전체 곱 $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 10$ 안에 소수 $2$, $3$, $5$, $7$ 이 각각 몇 번씩 들어 있는지 빠짐없이 정리해 둡니다(도구 #2). 일단 정리되면, 원판을 하나 빼는 것은 단순히 그 원판이 가진 소인수만큼을 지수에서 빼주는 일이 됩니다. 지수가 홀수인 소수를 짝수로 만들 수 있는 원판은 단 하나뿐이므로, 나머지 후보는 즉시 제외됩니다(도구 #3). 대수(도구 #13)는 전혀 필요하지 않습니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

원판 $2$부터 $10$까지의 라벨을 작은 소수들의 곱으로 풀어 적습니다.
거대한 곱을 한꺼번에 들여다보는 대신, 각 원판이 가진 소수 $2$, $3$, $5$, $7$ 이 몇 개씩인지를 따로따로 정리하는 것이 핵심입니다.
모든 라벨이 $7$ 이하의 소수만 사용한다는 점에 주목합니다.

$$2{=}2,\ 3{=}3,\ 4{=}2^2,\ 5{=}5,\ 6{=}2\cdot 3,\ 7{=}7,\ 8{=}2^3,\ 9{=}3^2,\ 10{=}2\cdot 5$$

💡 어떤 수를 소수들의 곱으로 쪼개는 것은 4학년 인수·배수 단원의 기본 동작이라, 각 라벨이 $2$·$3$·$5$·$7$ 의 작은 묶음으로 바뀝니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 2

아홉 원판 전체에서 소수 $2$, $3$, $5$, $7$ 이 각각 몇 번 등장하는지 세어 봅니다.
**$2$ 의 개수**: 원판 $2, 4, 6, 8, 10$ 이 각각 $1, 2, 1, 3, 1$ 개의 $2$ 를 내놓아 합이 $1+2+1+3+1 = 8$.
**$3$ 의 개수**: 원판 $3, 6, 9$ 가 $1, 1, 2$ 개를 내놓아 $1+1+2 = 4$.
**$5$ 의 개수**: 원판 $5, 10$ 이 각 $1$ 개씩 내놓아 $1+1 = 2$.
**$7$ 의 개수**: 원판 $7$ 만이 $1$ 개.
따라서 전체 곱은 $2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}$ 입니다.

$$2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10 = 2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7$$

💡 각 원판이 기여하는 $2$·$3$·$5$·$7$ 의 개수를 빠짐없이 세어 합치는 것은 4학년 인수·배수 학습의 핵심 활동입니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.C.7 단계 3

어떤 수가 완전제곱수일 필요충분조건은 **모든 소인수의 지수가 짝수**라는 것입니다.
위 결과를 보면 $2, 3, 5$ 의 지수는 각각 $8, 4, 2$ 로 모두 짝수이지만, $7$ 의 지수만 $1$ 로 홀수입니다.
따라서 단 한 개의 원판을 빼서 모든 지수를 짝수로 만들려면, **그 외로운 $7$ 을 품고 있는 원판**을 빼는 길밖에 없습니다.

$$\text{지수} = (8, 4, 2, 1) \text{ (소수 } 2, 3, 5, 7 \text{ 의 순서)} \;\Rightarrow\; 7\text{ 만 홀수 지수}$$

💡 완전제곱수는 $k \times k$ 꼴로 표현된다는 사실로부터 "소인수의 지수가 짝수"라는 기준이 자연스럽게 도출됩니다 — 3학년 곱셈 표 사실의 연장입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

다섯 후보를 차례로 시험해 봅니다.
(A) $4 = 2^2$ — 빼도 $7$ 의 지수가 그대로 $1$ 이므로 완전제곱수가 아님.
(B) $5$ — 빼면 $5$ 의 지수가 $1$ 이 되어 홀수가 됨.
(C) $6 = 2 \cdot 3$ — 빼면 $2$ 와 $3$ 두 지수가 동시에 홀수가 됨.
(D) $7$ — 빼면 $2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2}$ 가 남아 모든 지수가 짝수, **완전제곱수 성립**.
(E) $8 = 2^3$ — 빼면 $2$ 의 지수가 $5$ 가 되고 $7$ 은 그대로 $1$, 둘 다 홀수.
오직 (D) 만이 조건을 만족합니다.

$$\dfrac{2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7}{7} = 2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} = (2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5)^{2} = 720^{2}$$

💡 선택지를 하나씩 짚어 "홀수 지수의 소수가 남는지"만 확인하면 되므로, 4학년 인수·배수 감각만으로 정답을 가려낼 수 있습니다.

[1] #2 4.OA.B.4 원판 $2$부터 $10$까지의 라벨을 작은 소수들의 곱으로 풀어 적습니다. 거대한 곱을 한꺼번에 들여다보는 대신, 각 원판이 가진 소수 $2$,

[2] #2 4.OA.B.4 아홉 원판 전체에서 소수 $2$, $3$, $5$, $7$ 이 각각 몇 번 등장하는지 세어 봅니다. **$2$ 의 개수**: 원판 $2, 4,

[3] #6 3.OA.C.7 어떤 수가 완전제곱수일 필요충분조건은 **모든 소인수의 지수가 짝수**라는 것입니다. 위 결과를 보면 $2, 3, 5$ 의 지수는 각각 $8,

[4] #3 4.OA.B.4 다섯 후보를 차례로 시험해 봅니다. (A) $4 = 2^2$ — 빼도 $7$ 의 지수가 그대로 $1$ 이므로 완전제곱수가 아님. (B) $5$

검토

합리성 확인: 전체 곱에서 홀수 번 등장하는 소수는 $7$ 뿐이고, 그 $7$ 을 품고 있는 원판은 라벨이 $7$ 인 원판 단 하나입니다. 그러므로 답은 $7$ 로 유일하게 결정되며 다른 네 후보는 어느 것이라도 될 수 없습니다. 실제 곱을 확인해 보면 $2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} = 256 \cdot 81 \cdot 25 = 518{,}400 = 720 \times 720$. 결과가 $720^2$ 로 정확히 완전제곱수가 되어 소인수 논증과도 일치합니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기)을 쓰면 후보를 일일이 시험할 필요도 없어집니다. "$2 \cdot 3 \cdots 10$ 에서 홀수 번 등장하는 소수는 무엇인가?" 만 물어봅니다. $7$ 은 오직 라벨 $7$ 인 원판에서만 등장하므로 지수가 $1$ 로 홀수이고, 다른 소수($2, 3, 5$)는 모두 짝수 번 등장합니다. 따라서 빼야 할 원판은 반드시 $7$ 을 품고 있어야 하고, 그 후보는 라벨 $7$ 단 하나입니다. 곧바로 답 (D) 가 떨어집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.C.7 100 이내의 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 한다 (완전제곱수를 $k \times k$ 꼴로 인식하고 작은 소수들의 거듭제곱($2 \times 2 = 2^2$ 등)을 읽는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수쌍과 배수를 찾고, 소수인지 합성수인지 판단한다 (각 원판의 라벨을 소인수로 분해하고, 전체 곱에 들어 있는 각 소수의 개수를 세어 어느 원판을 빼야 모든 지수를 짝수로 만들 수 있는지 결정하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 소인수 분해와 배수 감각만 알면 풀려요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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